首页 > 已知：O是坐标原点，P（m，n）（m＞0）是函数y=kx（k＞0）上的点，过点P作直线PA⊥OP于P，直线PA与x轴的正半轴交于点A（a，0）（a＞m）．设△OPA的面积为s，且s=1+n44．（1）

已知：O是坐标原点，P（m，n）（m＞0）是函数y=kx（k＞0）上的点，过点P作直线PA⊥OP于P，直线PA与x轴的正半轴交于点A（a，0）（a＞m）．设△OPA的面积为s，且s=1+n44．（1）

题目简介

已知：O是坐标原点，P（m，n）（m＞0）是函数y=kx（k＞0）上的点，过点P作直线PA⊥OP于P，直线PA与x轴的正半轴交于点A（a，0）（a＞m）．设△OPA的面积为s，且s=1+n44．（1）

题目详情

已知：O是坐标原点，P（m，n）（m＞0）是函数y=
k
x
（k＞0）上的点，过点P作直线PA⊥OP于P，直线PA与x轴的正半轴交于点A（a，0）（a＞m）．设△OPA的面积为s，且s=1+
n4
4
．
（1）当n=1时，求点A的坐标；
（2）若OP=AP，求k的值；
（3）设n是小于20的整数，且k≠
n4
2
，求OP2的最小值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

过点P作PQ⊥x轴于Q，则PQ=n，OQ=m，
（1）当n=1时，s=class="stub"5
4
，（1分）
∴a=class="stub"2s
n
=class="stub"5
2
．（3分）

（2）解法一：∵OP=AP，PA⊥OP，
∴△OPA是等腰直角三角形．（4分）
∴m=n=class="stub"a
2
．（5分）
∴1+
n4
4
=class="stub"1
2
•an．
即n4-4n2+4=0，（6分）
∴k2-4k+4=0，
∴k=2．（7分）
解法二：∵OP=AP，PA⊥OP，
∴△OPA是等腰直角三角形．（4分）
∴m=n．（5分）
设△OPQ的面积为s1
则：s1=class="stub"s
2
∴class="stub"1
2
•mn=class="stub"1
2
（1+
n4
4
），
即：n4-4n2+4=0，（6分）
∴k2-4k+4=0，
∴k=2．（7分）

（3）解法一：∵PA⊥OP，PQ⊥OA，
∴△OPQ∽△OAP．
设：△OPQ的面积为s1，则
s1
s
=
PO2
AO2
（8分）
即：
class="stub"1
2
k
1+
n4
4
=
n2+
k2
n2
4(1+
n4
4
)2
n2
化简得：
2n4+2k2-kn4-4k=0（9分）
（k-2）（2k-n4）=0，
∴k=2或k=
n4
2
（舍去），（10分）
∴当n是小于20的整数时，k=2．
∵OP2=n2+m2=n2+
k2
n2
又m＞0，k=2，
∴n是大于0且小于20的整数．
当n=1时，OP2=5，
当n=2时，OP2=5，
当n=3时，OP2=32+class="stub"4
32
=9+class="stub"4
9
=class="stub"85
9
，（11分）
当n是大于3且小于20的整数时，
即当n=4、5、6…19时，OP2的值分别是：
42+class="stub"4
42
、52+class="stub"4
52
、62+class="stub"4
62
…192+class="stub"4
192
，
∵192+class="stub"4
192
＞182+class="stub"4
182
＞32+class="stub"4
32
＞5，（12分）
∴OP2的最小值是5．（13分）

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