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> 已知:O是坐标原点,P(m,n)(m>0)是函数y=kx(k>0)上的点,过点P作直线PA⊥OP于P,直线PA与x轴的正半轴交于点A(a,0)(a>m).设△OPA的面积为s,且s=1+n44.(1)
已知:O是坐标原点,P(m,n)(m>0)是函数y=kx(k>0)上的点,过点P作直线PA⊥OP于P,直线PA与x轴的正半轴交于点A(a,0)(a>m).设△OPA的面积为s,且s=1+n44.(1)
题目简介
已知:O是坐标原点,P(m,n)(m>0)是函数y=kx(k>0)上的点,过点P作直线PA⊥OP于P,直线PA与x轴的正半轴交于点A(a,0)(a>m).设△OPA的面积为s,且s=1+n44.(1)
题目详情
已知:O是坐标原点,P(m,n)(m>0)是函数y=
k
x
(k>0)上的点,过点P作直线PA⊥OP于P,直线PA与x轴的正半轴交于点A(a,0)(a>m).设△OPA的面积为s,且s=1+
n
4
4
.
(1)当n=1时,求点A的坐标;
(2)若OP=AP,求k的值;
(3)设n是小于20的整数,且k≠
n
4
2
,求OP
2
的最小值.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
过点P作PQ⊥x轴于Q,则PQ=n,OQ=m,
(1)当n=1时,s=
class="stub"5
4
,(1分)
∴a=
class="stub"2s
n
=
class="stub"5
2
.(3分)
(2)解法一:∵OP=AP,PA⊥OP,
∴△OPA是等腰直角三角形.(4分)
∴m=n=
class="stub"a
2
.(5分)
∴1+
n
4
4
=
class="stub"1
2
•an.
即n4-4n2+4=0,(6分)
∴k2-4k+4=0,
∴k=2.(7分)
解法二:∵OP=AP,PA⊥OP,
∴△OPA是等腰直角三角形.(4分)
∴m=n.(5分)
设△OPQ的面积为s1
则:s1=
class="stub"s
2
∴
class="stub"1
2
•mn=
class="stub"1
2
(1+
n
4
4
),
即:n4-4n2+4=0,(6分)
∴k2-4k+4=0,
∴k=2.(7分)
(3)解法一:∵PA⊥OP,PQ⊥OA,
∴△OPQ
∽
△OAP.
设:△OPQ的面积为s1,则
s
1
s
=
PO
2
AO
2
(8分)
即:
class="stub"1
2
k
1+
n
4
4
=
n2+
k
2
n
2
4(1+
n
4
4
)
2
n
2
化简得:
2n4+2k2-kn4-4k=0(9分)
(k-2)(2k-n4)=0,
∴k=2或k=
n
4
2
(舍去),(10分)
∴当n是小于20的整数时,k=2.
∵OP2=n2+m2=n2+
k
2
n
2
又m>0,k=2,
∴n是大于0且小于20的整数.
当n=1时,OP2=5,
当n=2时,OP2=5,
当n=3时,OP2=32+
class="stub"4
3
2
=9+
class="stub"4
9
=
class="stub"85
9
,(11分)
当n是大于3且小于20的整数时,
即当n=4、5、6…19时,OP2的值分别是:
42+
class="stub"4
4
2
、52+
class="stub"4
5
2
、62+
class="stub"4
6
2
…192+
class="stub"4
19
2
,
∵192+
class="stub"4
19
2
>182+
class="stub"4
18
2
>32+
class="stub"4
3
2
>5,(12分)
∴OP2的最小值是5.(13分)
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题目简介
已知:O是坐标原点,P(m,n)(m>0)是函数y=kx(k>0)上的点,过点P作直线PA⊥OP于P,直线PA与x轴的正半轴交于点A(a,0)(a>m).设△OPA的面积为s,且s=1+n44.(1)
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(1)当n=1时,求点A的坐标;
(2)若OP=AP,求k的值;
(3)设n是小于20的整数,且k≠
答案
(1)当n=1时,s=
∴a=
(2)解法一:∵OP=AP,PA⊥OP,
∴△OPA是等腰直角三角形.(4分)
∴m=n=
∴1+
即n4-4n2+4=0,(6分)
∴k2-4k+4=0,
∴k=2.(7分)
解法二:∵OP=AP,PA⊥OP,
∴△OPA是等腰直角三角形.(4分)
∴m=n.(5分)
设△OPQ的面积为s1
则:s1=
即:n4-4n2+4=0,(6分)
∴k2-4k+4=0,
∴k=2.(7分)
(3)解法一:∵PA⊥OP,PQ⊥OA,
∴△OPQ∽△OAP.
设:△OPQ的面积为s1,则
即:
2n4+2k2-kn4-4k=0(9分)
(k-2)(2k-n4)=0,
∴k=2或k=
∴当n是小于20的整数时,k=2.
∵OP2=n2+m2=n2+
∴n是大于0且小于20的整数.
当n=1时,OP2=5,
当n=2时,OP2=5,
当n=3时,OP2=32+
当n是大于3且小于20的整数时,
即当n=4、5、6…19时,OP2的值分别是:
42+
∵192+
∴OP2的最小值是5.(13分)