已知:O是坐标原点,P(m,n)(m>0)是函数y=kx(k>0)上的点,过点P作直线PA⊥OP于P,直线PA与x轴的正半轴交于点A(a,0)(a>m).设△OPA的面积为s,且s=1+n44.(1)

题目简介

已知:O是坐标原点,P(m,n)(m>0)是函数y=kx(k>0)上的点,过点P作直线PA⊥OP于P,直线PA与x轴的正半轴交于点A(a,0)(a>m).设△OPA的面积为s,且s=1+n44.(1)

题目详情

已知:O是坐标原点,P(m,n)(m>0)是函数y=
k
x
(k>0)上的点,过点P作直线PA⊥OP于P,直线PA与x轴的正半轴交于点A(a,0)(a>m).设△OPA的面积为s,且s=1+
n4
4

(1)当n=1时,求点A的坐标;
(2)若OP=AP,求k的值;
(3)设n是小于20的整数,且k≠
n4
2
,求OP2的最小值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

过点P作PQ⊥x轴于Q,则PQ=n,OQ=m,
(1)当n=1时,s=class="stub"5
4
,(1分)
∴a=class="stub"2s
n
=class="stub"5
2
.(3分)

(2)解法一:∵OP=AP,PA⊥OP,
∴△OPA是等腰直角三角形.(4分)
∴m=n=class="stub"a
2
.(5分)
∴1+
n4
4
=class="stub"1
2
•an.
即n4-4n2+4=0,(6分)
∴k2-4k+4=0,
∴k=2.(7分)
解法二:∵OP=AP,PA⊥OP,
∴△OPA是等腰直角三角形.(4分)
∴m=n.(5分)
设△OPQ的面积为s1
则:s1=class="stub"s
2
class="stub"1
2
•mn=class="stub"1
2
(1+
n4
4
),
即:n4-4n2+4=0,(6分)
∴k2-4k+4=0,
∴k=2.(7分)

(3)解法一:∵PA⊥OP,PQ⊥OA,
∴△OPQ△OAP.
设:△OPQ的面积为s1,则
s1
s
=
PO2
AO2
(8分)
即:
class="stub"1
2
k
1+
n4
4
=
n2+
k2
n2
4(1+
n4
4
)
2
n2
化简得:
2n4+2k2-kn4-4k=0(9分)
(k-2)(2k-n4)=0,
∴k=2或k=
n4
2
(舍去),(10分)
∴当n是小于20的整数时,k=2.
∵OP2=n2+m2=n2+
k2
n2
又m>0,k=2,
∴n是大于0且小于20的整数.
当n=1时,OP2=5,
当n=2时,OP2=5,
当n=3时,OP2=32+class="stub"4
32
=9+class="stub"4
9
=class="stub"85
9
,(11分)
当n是大于3且小于20的整数时,
即当n=4、5、6…19时,OP2的值分别是:
42+class="stub"4
42
、52+class="stub"4
52
、62+class="stub"4
62
…192+class="stub"4
192

∵192+class="stub"4
192
>182+class="stub"4
182
>32+class="stub"4
32
>5,(12分)
∴OP2的最小值是5.(13分)

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