已知圆C:x2+y2+bx+ay-3=0(a,b为正实数)上任意一点关于直线l:x+y+2=o的对称点都在圆C上,则1a+3b的最小值为______.-数学

题目简介

已知圆C:x2+y2+bx+ay-3=0(a,b为正实数)上任意一点关于直线l:x+y+2=o的对称点都在圆C上,则1a+3b的最小值为______.-数学

题目详情

已知圆C:x2+y2+bx+ay-3=0(a,b为正实数)上任意一点关于直线l:x+y+2=o的对称点都在圆C上,则
1
a
+
3
b
的最小值为______.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

圆C:x2+y2+bx+ay-3=0(a,b为正实数),所以圆的圆心坐标(-class="stub"b
2
,-class="stub"a
2
),
因为圆C:x2+y2+bx+ay-3=0(a,b为正实数)上任意一点关于直线l:x+y+2=o的对称点都在圆C上,
所以直线经过圆心,即a+b=4,
class="stub"1
a
+class="stub"3
b
=(class="stub"1
a
+class="stub"3
b
class="stub"a+b
4

=class="stub"1
4
+class="stub"3
4
+class="stub"b
4a
 +class="stub"3a
4b

=1+class="stub"b
4a
+class="stub"3a
4b

≥1+2
class="stub"b
4a
×class="stub"3a
4b

=1+
3
2
.当且仅当class="stub"b
4a
=class="stub"3a
4b
且a+b=4时取等号.
故答案为:1+
3
2

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