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已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F分别为棱BC，AD的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面PFB；（Ⅱ）已知二面角P-BF-C的余弦值为66，求四棱锥P-ABC

题目简介

已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F分别为棱BC，AD的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面PFB；（Ⅱ）已知二面角P-BF-C的余弦值为66，求四棱锥P-ABC

题目详情

已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F分别为棱BC，AD的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面PFB；
（Ⅱ）已知二面角P-BF-C的余弦值为
6
6
，求四棱锥P-ABCD的体积．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）因为E，F分别为正方形ABCD的两边BC，AD的中点，
所以BE
∥
.
.
FD，所以，BEDF为平行四边形，（2分）
得ED∥FB，（3分）
又因为FB⊂平面PFB，且ED⊄平面PFB，（4分）
所以DE∥平面PFB．（5分）

（Ⅱ）如图，以D为原点，射线DA，DC，DP分
别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设PD=a，
可得如下点的坐标：
P（0，0，a），F（1，0，0），B（2，2，0）
则有：
PF
=(1，0，-a)，
FB
=(1，2，0)，（6分）
因为PD⊥底面ABCD，所以平面ABCD的
一个法向量为
m
=（0，0，1），（.7分）
设平面PFB的一个法向量为
n
=（x，y，z），
则可得
PF
•n=0
FB
•n=0
即
x-az=0
x+2y=0

令x=1，得z=class="stub"1
a
，y=-class="stub"1
2
，所以n=(1，-class="stub"1
2
，class="stub"1
a
)．（9分）
由已知，二面角P-BF-C的余弦值为
6
6
，
所以得：cos＜m，n＞=class="stub"m•n
|m||n|
=
class="stub"1
a
class="stub"5
4
+class="stub"1
a2
=
6
6
，（10分）
解得a=2．（11分）
因为PD是四棱锥P-ABCD的高，
所以，其体积为VP-ABCD=class="stub"1
3
×2×4=class="stub"8
3
．（13分）

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