首页 > 如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，Q是棱PA上的动点．（Ⅰ）若Q是PA的中点，求证：PC∥平面BDQ；（Ⅱ）若PB=PD，求证：BD⊥CQ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若PA=

如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，Q是棱PA上的动点．（Ⅰ）若Q是PA的中点，求证：PC∥平面BDQ；（Ⅱ）若PB=PD，求证：BD⊥CQ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若PA=

题目简介

如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，Q是棱PA上的动点．（Ⅰ）若Q是PA的中点，求证：PC∥平面BDQ；（Ⅱ）若PB=PD，求证：BD⊥CQ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若PA=

题目详情

如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，Q是棱PA上的动点．
（Ⅰ）若Q是PA的中点，求证：PC∥平面BDQ；
（Ⅱ）若PB=PD，求证：BD⊥CQ；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若PA=PC，PB=3，∠ABC=60°，求四棱锥P-ABCD的体积．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）证明：连接AC，交BD于O．
因为底面ABCD为菱形，所以O为AC中点．
因为Q是PA的中点，所以OQ∥PC，
因为OQ⊂平面BDQ，PC⊄平面BDQ，
所以PC∥平面BDQ．…（5分）
（Ⅱ）证明：因为底面ABCD为菱形，
所以AC⊥BD，O为BD中点．
因为PB=PD，所以PO⊥BD．
因为PO∩BD=O，所以BD⊥平面PAC．
因为CQ⊂平面PAC，所以BD⊥CQ．…（10分）
（Ⅲ）因为PA=PC，所以△PAC为等腰三角形．
因为O为AC中点，所以PO⊥AC．
由（Ⅱ）知PO⊥BD，且AC∩BD=O，所以PO⊥平面ABCD，即PO为四棱锥P-ABCD的高．
因为四边形是边长为2的菱形，且∠ABC=60°，所以BO=
3
，
所以PO=
6
．
所以VP-ABCD=class="stub"1
3
×2
3
×
6
=2
2
，即VP-ABCD=2
2
．…（14分）

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