在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=2,AA1=2,如图,(1)当点P在BB1上运动时(点P∈BB1,且异于B,B1)设PA∩BA1=M,PC∩BC1=N,求证:MN∥平面ABCD(2)当点P

题目简介

在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=2,AA1=2,如图,(1)当点P在BB1上运动时(点P∈BB1,且异于B,B1)设PA∩BA1=M,PC∩BC1=N,求证:MN∥平面ABCD(2)当点P

题目详情

在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=
2
,AA1=2,如图,
(1)当点P在BB1上运动时(点P∈BB1,且异于B,B1)设PA∩BA1=M,PC∩BC1=N,求证:MN平面ABCD
(2)当点P是BB1的中点时,求异面直线PC与AD1所成角的正弦值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)证明:连接MN,∵BPAA1,∴class="stub"PM
MA
=class="stub"BP
AA1

同理class="stub"PN
NC
=class="stub"BP
CC1
,∵AA1=CC1,∴class="stub"PM
MA
=class="stub"PN
NC
,∴MNAC,
又AC⊂平面ABCD,MN⊄平面ABCD,∴MN平面ABCD.
(2)∵ABC1D1,AB=C1D1,∴四边形ABC1D1为平行四边形,
∴AD1BC1,∴∠BNC为异面直线PC与AD1所成角,
∵点P是BB1的中点,∴BP=1=class="stub"1
2
CC1,∴BN=class="stub"1
2
NC1=class="stub"1
3
AC1=
6
3

CN=2PN=class="stub"2
3
PC=
2
3
3
,BC=
2

由余弦定理得cos∠BNC=
BN2+CN2-BC2
2×BN×CN
=0,
∴sin∠BNC=1.

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