已知函数f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,n∈N*且a1、a2、a3、……、an构成一个数列{an},满足f(1)=n2.(1)求数列{an}的通项公式,并求;(2)证明0<f()<

题目简介

已知函数f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,n∈N*且a1、a2、a3、……、an构成一个数列{an},满足f(1)=n2.(1)求数列{an}的通项公式,并求;(2)证明0<f()<

题目详情

已知函数f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxnn∈N*a1a2a3、……、an构成一个数列{an},满足f(1)=n2.
(1)求数列{an}的通项公式,并求
(2)证明0<f()<1.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)(2)证明略
(1)解: {an}的前n项和Sn=a1+a2+…+an=f(1)=n2,
an=SnSn–1=n2–(n–1)2=2n–1(n≥2),又a1=S1=1满足an=2n–1.
故{an}通项公式为an=2n–1(n∈N*)

(2)证明: ∵f()=1·+3·+…+(2n–1)        ①
f()=1·+3·+…+(2n–3)+(2n–1)  ②
①–②得:f()=1·+2·+2·+…+2·–(2n–1)·
f()=++++…+–(2n–1)=1– 
 (nN*)
∴0<<1,∴0<1–<1,即0<f()<1

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