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已知，其中是自然常数，（Ⅰ）当时,研究的单调性与极值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：；-高三数学

题目简介

已知，其中是自然常数，（Ⅰ）当时,研究的单调性与极值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：；-高三数学

题目详情

已知

，其中

是自然常数，

（Ⅰ）当

时, 研究

的单调性与极值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：

；

题型：解答题难度：偏易来源：不详

答案

（Ⅰ）

的极小值为

；（Ⅱ）

。

试题分析：（1）因为

，

，那么求解导数的正负，得到单调性的求解。
（2）

的极小值为1，即

在

上的最小值为1，
∴

，

，构造函数令

，确定出最大值。比较大小得到。
解：（Ⅰ）

，

……2分
∴当

时，

，此时

单调递减
当

时，

，此时

单调递增 …………4分
∴

的极小值为

……6分
（Ⅱ）

的极小值为1，即

在

上的最小值为1，
∴

，

……5分
令

，

， …………8分
当

时，

，

在

上单调递增 ………9分
∴

………11分
∴在（1）的条件下，

……………………………12分
点评：解决该试题的关键是利用导数的正负判定函数单调性，和导数为零点的左右符号的正负，进而得到函数极值，进而求解最值。

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