(本小题满分12分)已知函数在处取得极值为2,设函数图象上任意一点处的切线斜率为k。(1)求k的取值范围;(2)若对于任意,存在k,使得,求证:-高三数学

题目简介

(本小题满分12分)已知函数在处取得极值为2,设函数图象上任意一点处的切线斜率为k。(1)求k的取值范围;(2)若对于任意,存在k,使得,求证:-高三数学

题目详情

(本小题满分12分)
已知函数处取得极值为2,设函数图象上任意一点处的切线斜率为k。
(1)求k的取值范围;
(2)若对于任意,存在k,使得,求证:
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ) ;(Ⅱ)成立 。
本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。
(1)中,函数处取得极值为2那么可知道a,b的值,求解得到解析式。然后分析范围
(2)根据由于,故只需要证明时结论成立
,得,构造函数的思想,利用导数来得到证明。
解:(Ⅰ)
得,                         (2分)

                         (4分)
(Ⅱ),令
的增区间为,故当时,.
,故                                       (6分)
(法一)由于,故只需要证明时结论成立
,得
,则
,则

为减函数,故 为减函数
故当时有,此时为减函数
为增函数
所以的唯一的极大值,因此要使,必有
综上,有成立                                     (12分)
(法二) 由已知:        ①
下面以反证法证明结论:
假设,则
因为,所以
,故
与①式矛盾
假设,同理可得
与①式矛盾
综上,有成立                                  (12分)

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