首页 > 已知函f（x）=ex-x（e为自然对数的底数）．（1）求f（x）的最小值；（2）不等式f（x）＞ax的解集为P，若M={x|12≤x≤2}且M∩P≠∅求实数a的取值范围；（3）已知n∈N+，且Sn=∫

已知函f（x）=ex-x（e为自然对数的底数）．（1）求f（x）的最小值；（2）不等式f（x）＞ax的解集为P，若M={x|12≤x≤2}且M∩P≠∅求实数a的取值范围；（3）已知n∈N+，且Sn=∫

题目简介

已知函f（x）=ex-x（e为自然对数的底数）．（1）求f（x）的最小值；（2）不等式f（x）＞ax的解集为P，若M={x|12≤x≤2}且M∩P≠∅求实数a的取值范围；（3）已知n∈N+，且Sn=∫

题目详情

已知函f（x）=ex-x （e为自然对数的底数）．
（1）求f（x）的最小值；
（2）不等式f（x）＞ax的解集为P，若M={x|
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≤x≤2}且M∩P≠∅求实数a的取值范围；
（3）已知n∈N+，且Sn=∫n0f（x）dx，是否存在等差数列{an}和首项为f（I）公比大于0的等比数列{bn}，使得a1+a2+…+an+b1+b2+…bn=Sn？若存在，请求出数列{an}、{bn}的通项公式．若不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：贵溪市模拟

答案

（1）∵函数f（x）=ex-x，∴f′（x）=ex-1；由f′（x）=0，得x=0，当x＞0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当x＜0时，f′（x）＜0，函数f（x）在（-∞，0）上单调递减；∴函数f（x）的最小值为f（0）=1．
（2）∵M∩P≠∅，∴f（x）＞ax在区间[class="stub"1
2
，1]有解，由f（x）＞ax，得ex-x＞ax，即a＜
ex
x
-1在[class="stub"1
2
，2]上有解；
令g（x）=
ex
x
-1，x∈[class="stub"1
2
，2]，则g′（x）=
(x-1)ex
x2
，∴g（x）在[class="stub"1
2
，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增；
又g（class="stub"1
2
）=2
e
-1，g（2）=
e2
2
-1，且g（2）＞g（class="stub"1
2
），∴g（x）的最大值为g（2）=
e2
2
-1，∴a＜
e2
2
-1．
（3）设存在公差为d的等差数列{an}和公比为q（q＞0），首项为f（1）的等比数列{bn}，
使a1+a2+…+an+b1+b2+…+bn=Sn
∵Sn=
∫n0
f(x)dx=
∫n0
(ex-x)dx=(ex-class="stub"1
2
x2)|_n=en-class="stub"1
2
n2-1；且b1=f（1）=e-1，
∴a1+b1=S1即a1+e-1=e-class="stub"3
2
；∴a1=-class="stub"1
2
，又n≥2时，an+bn=sn-sn-1=en-1（e-1）-n+class="stub"1
2
；
故n=2，3时，有
-class="stub"1
2
+d+(e-1)q=e(e-1)-class="stub"3
2
   ①
-class="stub"1
2
+2d+(e-1)q2=e2(e-1)-class="stub"5
2
②
；
②-①×2得，q2-2q=e2-2e，解得q=e，或q=2-e（舍），故q=e，d=-1；
此时an=-class="stub"1
2
+（n-1）（-1）=class="stub"1
2
-n，bn=(e-1)en-1且an+bn=(e-1)en-1+class="stub"1
2
-n=Sn-Sn-1；
∴存在满足条件的数列{an}，{bn}满足题意．

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