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已知在（3x-123x）n的展开式中，第6项为常数项．（1）求n；（2）求含x2项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．-数学

题目简介

已知在（3x-123x）n的展开式中，第6项为常数项．（1）求n；（2）求含x2项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．-数学

题目详情

已知在（
3x
-
1
2
3x
）n的展开式中，第6项为常数项．
（1）求n； 
（2）求含x2项的系数； 
（3）求展开式中所有的有理项．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）根据题意，可得（
3x
-class="stub"1
2
3x
）n的展开式的通项为Tr+1=
Crn
(xclass="stub"1
3
)n-r(-class="stub"1
2
x-class="stub"1
3
)r=(-class="stub"1
2
)r
Crn
xclass="stub"n-2r
3
，
又由第6项为常数项，则当r=5时，class="stub"n-2r
3
=0，
即class="stub"n-10
3
=0，解可得n=10，
（2）由（1）可得，Tr+1=（-class="stub"1
2
）rC10rxclass="stub"10-2r
3
，
令class="stub"10-2r
3
=2，可得r=2，
所以含x2项的系数为(-class="stub"1
2
)2
C210
=class="stub"45
4
，
（3）由（1）可得，Tr+1=（-class="stub"1
2
）rC10rxclass="stub"10-2r
3
，
若Tr+1为有理项，则有class="stub"10-2r
3
∈Z，且0≤r≤10，
分析可得当r=2，5，8时，class="stub"10-2r
3
为整数，
则展开式中的有理项分别为class="stub"45
4
x2，-class="stub"63
8
，class="stub"45
256
x-2．

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