如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的顶点坐标分别为A(0,3)B(-2,0),C(m,0),其中m>0.以OB,OC为直径的圆分别交AB于点E,交AC于点F,连接EF.(1)求证:△AFE∽△AB

题目简介

如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的顶点坐标分别为A(0,3)B(-2,0),C(m,0),其中m>0.以OB,OC为直径的圆分别交AB于点E,交AC于点F,连接EF.(1)求证:△AFE∽△AB

题目详情

如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的顶点坐标分别为A(0,3)B(-2,0),C(m,0),其中m>0.以OB,OC为直径的圆分别交AB于点E,交AC于点F,连接EF.
(1)求证:△AFE△ABC;
(2)是否存在m的值,使得△AEF是等腰三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由;
(3)观察当点C在x轴上移动时,点F移动变化的情况.试求点C1
3
,0)移动到点C2(3
3
,0)点F移动的行程.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)证明:∵AO是两圆内的公切线,
∴AO2=AE•AB=AF•AC,
class="stub"AE
AF
=class="stub"AC
AB

又∵∠FAE=∠BAC
∴△AFE△ABC;

(2)∵△AFE△ABC,
class="stub"AF
AB
=class="stub"AE
AC
=class="stub"FE
BC

当AF=AE,即AB=AC时,OC=OB
∴m=2,
当AE=FE,即AB=BC时,
4+9
=2+m,
∴m=
13
-2
当AF=FE,即AC=BC时,9+m2=(2+m)2,
解得m=class="stub"5
4

∴m的值为2或
13
-2或class="stub"5
4


(3)∠AFO始终为直角,且OA为定值
∴OA=3,OC1=
3

∴tan∠OAC1=
3
3

∴∠OAC1=30°,
同理可得∠OAC2=60°
∴∠C1AC2=30°
∴点F移动的行程为
(2×30)×π×class="stub"3
2
180
=class="stub"π
2

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