首页 > 如图所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（1）证明：B1C1⊥CE；（2）设点M在线段C1

如图所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（1）证明：B1C1⊥CE；（2）设点M在线段C1

题目简介

如图所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（1）证明：B1C1⊥CE；（2）设点M在线段C1

题目详情

如图所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．
（1）证明：B1C1⊥CE；
（2）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为
2
6
．求线段AM的长．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）证明：因为侧棱CC1⊥平面A1B1C1D1，B1C1⊂平面A1B1C1D1，
所以CC1⊥B1C1．
因为AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点，
所以B1E=
5
，B1C1=
2
，EC1=
3
，
从而B1E2=B1C
21
+EC
21
，
所以在△B1EC1中，B1C1⊥C1E．
又CC1，C1E⊂平面CC1E，CC1∩C1E=C1，
所以B1C1⊥平面CC1E，
又CE⊂平面CC1E，故B1C1⊥CE．
（2）连结D1E，过点M作MH⊥ED1于点H，可得MH⊥平面ADD1A1，
连结AH，AM，则∠MAH为直线AM与平面ADD1A1所成的角．
设AM=x，从而在Rt△AHM中，有MH=
2
6
x，AH=
34
6
x．
在Rt△C1D1E中，C1D1=1，ED1=
2
，得EH=
2
MH=class="stub"1
3
x．
在△AEH中，∠AEH=135°，AE=1，由AH2=AE2+EH2-2AE•EHcos135°，得class="stub"17
18
x2=1+class="stub"1
9
x2+
2
3
x．
整理得5x2-2
2
x-6=0，解得x=
2
（负值舍去），
所以线段AM的长为
2
．

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