首页 > 已知集合A={x|x2+a≤|a+1|x，a∈R}（1）求A；（2）若以a为首项，a为公比的等比数列前n项和记为Sn，问是否存在实数a使得对于任意的n∈N*，均有Sn∈A．若存在，求出a的取值范围，若

已知集合A={x|x2+a≤|a+1|x，a∈R}（1）求A；（2）若以a为首项，a为公比的等比数列前n项和记为Sn，问是否存在实数a使得对于任意的n∈N*，均有Sn∈A．若存在，求出a的取值范围，若

题目简介

已知集合A={x|x2+a≤|a+1|x，a∈R}（1）求A；（2）若以a为首项，a为公比的等比数列前n项和记为Sn，问是否存在实数a使得对于任意的n∈N*，均有Sn∈A．若存在，求出a的取值范围，若

题目详情

已知集合A={x|x2+a≤|a+1|x，a∈R}
（1）求A；
（2）若以a为首项，a为公比的等比数列前n项和记为Sn，问是否存在实数a使得对于任意的n∈N*，均有Sn∈A．若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由x2+a≤|a+1|x，a∈R，
得
a+1≥0
x2-(a+1)x+a≤0
或
a+1＜0
x2+(a+1)x+a≤0

∴a＞1时，1≤x≤a；-1≤a≤1时，a≤x≤1；a＜-1时，-1≤x≤-a
∴a＞1时，A={x|1≤x≤a}；-1≤a≤1时，A={x|a≤x≤1}；a＜-1时，A={x|-1≤x≤-a}
（2）①当a≥1时，A={x|1≤x≤a}，而当n=2时，S2=a+a2，若S2∈A，则1≤a+a2≤a，得
a2+a-1≥1
a2≤0
a≥1
，此不等式组的解集为空集，故a≥1时，不存在满足条件的实数a；
②当0＜a＜1时，A={x|a≤x≤1}；而Sn=a+a2+…+an=class="stub"a
1-a
(1-an)是关于n的增函数，且
lim
x→∞
Sn=class="stub"a
1-a
，故Sn∈[a，class="stub"a
1-a
)，故对任意的n∈N*，要使Sn∈A，只需a满足
0＜a＜1
class="stub"a
1-a
≤1
，解得0＜a≤class="stub"1
2
；
③当a＜-1时，A={x|-1≤x≤-a}，显然S1=a∉A，故不存在满足条件的实数a；
④当a=-1时，A={x|-1≤x≤1}，S2n-1=-1，S2n=1，适合；
⑤当-1＜a＜0时，A={x|a≤x≤1}，S2n+1=S2n-1+a2n+a2n+1=S2n-1+a2n+a2n+1=S2n-1+a2n（1+a）
∵a2n＞0，1+a＞0，∴a2n（1+a）＞0，∴S2n+1＞S2n-1S2n+2=S2n+a2n+1+a2n+2=S2n+a2n+1+a2n+2=S2n+a2n+1（1+a）
∵a2n+1=a2n•a＜0，1+a＞0，∴a2n+1（1+a）＜0，∴S2n+2＜S2n
又∵S2n+1-S2n=
a(1-a2n+1)
1-a
-
a(1-a2n)
1-a
=class="stub"a
1-a
(a2n-a2n+1)=
a2n+1(1-a)
1-a
=a2n+1＜0
∴S2n+1＜S2n
而S2=S1+a2＞S1，
故S1＜S3＜S5＜S7＜…＜S2n+1＜…＜S2n＜S2n-2＜…＜S4＜S2
故对任意的n∈N*，要使Sn∈A，只需
S2∈A
S1∈A
，即
-1＜a＜0
a+a2≤1
a≥a
，解得-1＜a＜0
综上所述，a的取值范围是{a|0＜a≤class="stub"1
2
或-1≤a＜0}

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