首页 > 设函数f(x)=lnx，g(x)=x-1x．（1）求Φ（x）=g（x）+kf（x）（k＜0）的单调区间；（2）若对所有的x∈[e，+∞），都有xf（x）≥ax+a成立，求a的取值范围．-数学

设函数f(x)=lnx，g(x)=x-1x．（1）求Φ（x）=g（x）+kf（x）（k＜0）的单调区间；（2）若对所有的x∈[e，+∞），都有xf（x）≥ax+a成立，求a的取值范围．-数学

题目简介

设函数f(x)=lnx，g(x)=x-1x．（1）求Φ（x）=g（x）+kf（x）（k＜0）的单调区间；（2）若对所有的x∈[e，+∞），都有xf（x）≥ax+a成立，求a的取值范围．-数学

题目详情

设函数f(x)=lnx，g(x)=x-
1
x
．
（1）求Φ（x）=g（x）+kf（x）（k＜0）的单调区间；
（2）若对所有的x∈[e，+∞），都有xf（x）≥ax+a成立，求a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）函数φ（x）=x-class="stub"1
x
+klnx的定义域为（0，+∞）．
φ′（x）=1+class="stub"1
x2
+class="stub"k
x
=
x2+kx+1
x2
，
记函数h（x）=x2+kx+1，其判别式△=k2-4．
①当△=k2-4≤0，（k＜0），即-2≤k＜0时，g（x）≥0恒成立，
∴φ′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，φ（x）在区间（0，+∞）上递增．
②当△=k2-4＞0，（k＜0）即k＜-2时，
方程h（x）=0有两个不等的实根x1=
-k-
k2-4
2
＞0，x2=
-k+
k2-4
2
＞0．
若x1＜x＜x2，则h（x）＜0，∴φ′（x）＜0，
∴φ（x）在区间（x1，x2）上递减；
若x＞x2或0＜x＜x1，则g（x）＞0，∴φ′（x）＞0，
∴φ（x）在区间（0，x1）和（x2，+∞）上递增．
综上可知：当-2≤k＜0时，φ（x）的递增区间为（0，+∞）；
当k＜-2时，φ（x）的递增区间为（0，
-k-
k2-4
2
）和（
-k+
k2-4
2
，+∞），
递减区间为（
-k-
k2-4
2
，
-k+
k2-4
2
）．
（2）∵x≥e，∴xlnx≥ax+a⇔a≤class="stub"xlnx
x+1
，
令t（x）=class="stub"xlnx
x-1
，x∈[e，+∞），则h′（x）=class="stub"x+lnx+1
(x+1)2
，
∵当x≥e时，（x+lnx+1）′=1+class="stub"1
x
＞0，
∴函数y=x+lnx+1在[e，+∞）上是增函数，
∴x+lnx+1≥e+lne+1=e+2＞0，h′（x）＞0，
∴t（x）的最小值为h（e）=class="stub"e
e+1
，
∴a≤class="stub"e
e+1
．

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