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已知函数f（x）=x2（x-a）+bx（Ⅰ）若a=3，b=l，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若b=a+103，函数f（x）在（1，+∞）上既能取到极大值又能取到极小值，求a的取

题目简介

已知函数f（x）=x2（x-a）+bx（Ⅰ）若a=3，b=l，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若b=a+103，函数f（x）在（1，+∞）上既能取到极大值又能取到极小值，求a的取

题目详情

已知函数f（x）=x2（x-a）+bx
（Ⅰ）若a=3，b=l，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若b=a+
10
3
，函数f（x）在（1，+∞）上既能取到极大值又能取到极小值，求a的取值范围；
（Ⅲ）若b=0，不等式
f(x)
x
+1nx+1≥0对任意的x∈[
1
2
，+∞)恒成立，求a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）若a=3，b=l，则f（x）=x3-3x2+x，∴f′（x）=3x2-6x+1
∴f′（1）=3×12-6+1=-2，f（1）=-1
∴函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+1=-2（x-1），即y=-2x+1；
（Ⅱ）∵b=a+class="stub"10
3
，∴f（x）=x3-ax2+（a+class="stub"10
3
）x，∴f′（x）=3x2-2ax+a+class="stub"10
3

∵函数f（x）在（1，+∞）上既能取到极大值又能取到极小值，
∴
4a2-12(a+class="stub"10
3
)＞0
class="stub"2a
6
＞1
3-2a+a+class="stub"10
3
＞0
，∴5＜a＜class="stub"19
3
；
（Ⅲ）若b=0，则f（x）=x2（x-a）
∴不等式
f(x)
x
+1nx+1≥0对任意的x∈[class="stub"1
2
，+∞)恒成立，可化为x+class="stub"lnx
x
+class="stub"1
x
≥a对任意的x∈[class="stub"1
2
，+∞)恒成立，
设g（x）=x+class="stub"lnx
x
+class="stub"1
x
，则g′（x）=
x2-lnx
x2

设h（x）=x2-lnx，则h′(x)=
2x2-1
x
（x≥class="stub"1
2
）
令h′（x）＜0，∵x≥class="stub"1
2
，∴可得class="stub"1
2
≤x＜
2
2
；h′（x）＞0，∵x≥class="stub"1
2
，∴可得x＞
2
2

∴h（x）在[class="stub"1
2
，
2
2
)上单调递减，在（
2
2
，+∞）上单调递增
∴h（x）的最小值为h（
2
2
）=class="stub"1
2
-ln
2
2
＞0
∴g′（x）＞0，∴g（x）在x∈[class="stub"1
2
，+∞)上单调递增
∴g（x）的最小值为g（class="stub"1
2
）=class="stub"5
2
-2ln2
∴a≤class="stub"5
2
-2ln2．

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