首页 > 已知函数f(x)=12x2+(a-3)x+lnx．（Ⅰ）若函数f（x）是定义域上的单调函数，求实数a的最小值；（Ⅱ）方程f(x)=(12-a)x2+(a-2)x+2lnx．有两个不同的实数解，求实数a

已知函数f(x)=12x2+(a-3)x+lnx．（Ⅰ）若函数f（x）是定义域上的单调函数，求实数a的最小值；（Ⅱ）方程f(x)=(12-a)x2+(a-2)x+2lnx．有两个不同的实数解，求实数a

题目简介

已知函数f(x)=12x2+(a-3)x+lnx．（Ⅰ）若函数f（x）是定义域上的单调函数，求实数a的最小值；（Ⅱ）方程f(x)=(12-a)x2+(a-2)x+2lnx．有两个不同的实数解，求实数a

题目详情

已知函数f(x)=
1
2
x2+(a-3)x+lnx．
（Ⅰ）若函数f（x）是定义域上的单调函数，求实数a的最小值；
（Ⅱ）方程f(x)=(
1
2
-a)x2+(a-2)x+2lnx．有两个不同的实数解，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）在函数f（x）的图象上是否存在不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点的横坐标为x0，有f′（x0）=
y1-y2
x1-x2
成立？若存在，请求出x0的值；若不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）f/(x)=x+a-3+class="stub"1
x
(x＞0)．（2分）
若函数f（x）在（0，+∞）上递增，
则f′（x）≥0对x＞0恒成立，即a≥-(x+class="stub"1
x
)+3对x＞0恒成立，
而当x＞0时，-(x+class="stub"1
x
)+3≤-2+3=1．
∴a≥1．
若函数f（x）在（0，+∞）上递减，
则f′（x）≤0对x＞0恒成立，即a≤-(x+class="stub"1
x
)+3对x＞0恒成立，
这是不可能的．
综上，a≥1．
a的最小值为1．（6分）
（Ⅱ）由f(x)=(class="stub"1
2
-a)x2+(a-2)x+2lnx=0，
得：(a-class="stub"1
2
)x2+(2-a)x=2lnx，
即：a=class="stub"lnx+x
x2
，令r（x）=class="stub"lnx+x
x2
，r′（x）=
(class="stub"1
x
+1)x2-2x(lnx+x) 
x4
=class="stub"1-x-2lnx
x3

得1-x-2lnx=0的根为1，
所以当0＜x＜1时，r′（x）＞0，则r（x）单调递增，
当x＞1时，r′（x）＜0，则r（x）单调递减，
所以r（x）在x=1处取到最大值r（1）=1，
又x→0时r（x）→0，又x→+∞时，r（x）→0，
所以要使y=class="stub"lnx+x
x2
与y=a有两个不同的交点，则有 0＜a＜1                                       …8分
（III）假设存在，不妨设0＜x1＜x2.k=
f(x1)-f(x2)
x1-x2
=
class="stub"1
2
x21
+(a-3)x1+lnx1-class="stub"1
2
x22
-(a-3)x2-lnx2
x1-x2
=x0+(a-3)+
ln
x1
x2
x1-x2
．（9分）
f/(x0)=x0+(a-3)+class="stub"1
x0
．
若k=f′（x0），则
ln
x1
x2
x1-x2
=class="stub"1
x0
，即
ln
x1
x2
x1-x2
=class="stub"2
x1+x2
，即ln
x1
x2
=
2
x1
x2
-2
x1
x2
+ 1
．（*）（12分）
令t=
x1
x2
，u(t)=lnt-class="stub"2t-2
t+1
（0＜t＜1），
则u′(t)=
(t-1)2
t(t+1)2
＞0．∴u（t）在0＜t＜1上是增函数，
∴u（t）＜u（1）=0，
∴（*）式不成立，与假设矛盾．∴k≠f′（x0）．
因此，满足条件的x0不存在．（16分）

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