如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点。(1)证明:平面BDC1⊥平面BDC;(2)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比

题目简介

如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点。(1)证明:平面BDC1⊥平面BDC;(2)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比

题目详情

如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点。
(1) 证明:平面BDC1⊥平面BDC;
(2)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比。
题型:解答题难度:中档来源:高考真题

答案

解:(1)由题设知BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C,
∴BC⊥平面ACC1A1,
又DC1?平面ACC1A1,
∴DC1⊥BC
由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°,
∴∠CDC1=90°,即DC1⊥DC,
又DC∩BC=C,
∴DC1⊥平面BDC,
又DC1?平面BDC1,
∴平面BDC1⊥平面BDC;
(2)设棱锥B-DACC1的体积为V1,AC=1,
由题意得V1=××1×1=
又三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=1,
(V-V1):V1=1:1,
∴平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1:1。

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