如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC=4,∠ABC=120°,E、M分别为AB、DE的中点,将△ADE沿直线DE翻转成△A′DE,A′C=4.求证:平面A′DE⊥平面BCD.-数学

题目简介

如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC=4,∠ABC=120°,E、M分别为AB、DE的中点,将△ADE沿直线DE翻转成△A′DE,A′C=4.求证:平面A′DE⊥平面BCD.-数学

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如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC=4,∠ABC=120°,E、M分别为AB、DE的中点,将△ADE沿直线DE翻转成△A′DE,A′C=4.求证:平面A′DE⊥平面BCD.360优课网
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

证明:∵平行四边形ABCD中,AB=2BC=4,∠ABC=120°,
∴∠DAB=60°,E为AB的中点,
∴△ADE为等边三角形,
∴DE=2.

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连接CE,∠ABC=120°,BE=BC=2,
由余弦定理得CE2=BE2+CB2-2BE•BCcos∠ABC=4+4-2×2×2×(-class="stub"1
2
)=12,
在△A′EC中,A′E=AE=2,A′C=4,CE=2
3
,满足A′C2=CE2+A′E2,
∴CE⊥A′E;
在△CDE中,同理可证CE⊥DE;
∵A′E∩DE=E,
∴CE⊥平面A′DE,又CE⊂平面BCD,
∴平面A′DE⊥平面BCD.

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