首页 > 如图，P是正方形ABCD所在平面外一点，且PD⊥AD，PD⊥DC，PD=3，AD=2，若M、N分别是AB、PC的中点．（1）求证：MN⊥DC；（2）求点M到平面PAC的距离．-高二数学

如图，P是正方形ABCD所在平面外一点，且PD⊥AD，PD⊥DC，PD=3，AD=2，若M、N分别是AB、PC的中点．（1）求证：MN⊥DC；（2）求点M到平面PAC的距离．-高二数学

题目简介

如图，P是正方形ABCD所在平面外一点，且PD⊥AD，PD⊥DC，PD=3，AD=2，若M、N分别是AB、PC的中点．（1）求证：MN⊥DC；（2）求点M到平面PAC的距离．-高二数学

题目详情

如图，P是正方形ABCD所在平面外一点，且PD⊥AD，PD⊥DC，PD=3，AD=2，若M、N分别是AB、PC的中点．
（1）求证：MN⊥DC；
（2）求点M到平面PAC的距离．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（本小题满分13分）
如图建系，则D（0，0，0），
A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），P（0，0，3），则M(2，1，0)，N(0，1，class="stub"3
2
)．
（1）∴
MN
=(-2，0，class="stub"3
2
)，
DC
=(0，2，0)∴
MN
•
DC
=(-2，0，class="stub"3
2
)•(0，2，0)=0，∴MN⊥DC．
（2）设
n
=(x，y，z)为平面PAC的一个法向量，
PA
=(2，0，-3)，
PC
=(0，2，-3)，
由
PA
•
n
=0
PC
•
n
=0
，得
2x-3y=0
2y-3z=0

取x=3，则y=3，z=2，
n
=(3，3，2)，
MA
=(-1，0，0)
∴d=
|
n
•
MA
|
|
n
|
=class="stub"3
22
=
3
22
22
，
∴点M到平面PAC的距离为
3
22
22
．

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