直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，AB=BC，M为BC边上一点，（1）若∠DMC=45°，求证：AD=AM；（2）若∠DAM=45°，AB=7，CD=4，求BM的值。-九年级数学

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直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，AB=BC，M为BC边上一点，
（1）若∠DMC=45°，求证：AD=AM；
（2）若∠DAM=45°，AB=7，CD=4，求BM的值。

题型：解答题难度：中档来源：重庆市期中题

答案

解：（1）证明：作AE⊥CD交延长线于点E，
∵∠DMC=45°，∠C=90°，
∴CM=CD，
又∵∠B=∠C=∠E=90°，AB=BC，
∴四边形ABCE为正方形，
∴BC=CE，
∴BM=DE，
在Rt△ABM和Rt△AED中，
∴△ABM≌△AED，
∴AD=AM。
（2）把Rt△ABM绕点A顺时针旋转90°，使AB与AE重合，
得Rt△AEN，
∵∠DAM=45°，
∴∠BAM+∠DAE=45°，
由旋转知∠1=∠3，
∴∠2+∠3=45°，
即∠DAM=∠DAN，
由旋转知AM=AN，
∴△ADM≌△ADN，
∴DM=DN，
设BM=x，
∵AB=BC=CE=7，
∴CM=7-x，
又∵CD=4，
∴DE=3，BM=EN=x，
∴MD=DN=3+x，
在Rt△CDM中，（7-x）2+42=（3+x）2，x=，
∴BM的值为。

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直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，AB=BC，M为BC边上一点，（1）若∠DMC=45°，求证：AD=AM；（2）若∠DAM=45°，AB=7，CD=4，求BM的值。-九年级数学

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