首页 > 已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD．(1)如图①，当PA的长度等于时，∠PAB＝60°；当PA的长度-

已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD．(1)如图①，当PA的长度等于时，∠PAB＝60°；当PA的长度-

题目简介

已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD．(1)如图①，当PA的长度等于时，∠PAB＝60°；当PA的长度-

题目详情

已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD．
(1)如图①，当PA的长度等于时，∠PAB＝60°；当PA的长度等于时，△PAD是等腰三角形；
(2)如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S₁、S₂、S₃．坐标为（a，b），试求2 S₁ S₃－S₂²的最大值，并求出此时a，b的值．

题型：解答题难度：偏难来源：不详

答案

（1）2，

或

；（2）当a=2时，b=2，2S1S3－S22有最大值是16.

试题分析：（1）因为由是直径，可得∠APB=90°，要使∠PAB=60,即要∠PBA="30" ，即PA=

PB=2，当PA=PD、PD=DA时，△PAD是等腰三角形，作辅助线DO

AP交PA于G，然后由正方形的性质、勾股定理易知△PAD△DGA，从而用对应边的相似比可得.
（2）要求2S1 S3－S22的最大值，只要先把S1、S2、S3用a，b表示，再根据

得到关系式，从而利用二次函数最大值概念求得.
试题解析：（1）若∠PAB=60°，需∠PBA=30°，
∵AB是直径，
∴∠APB=90°，
则在Rt△PAB中，PA=

AB=2，
∴当PA的长度等于2时，∠PAB=60°；
①若△PAD是等腰三角形，当PA=PD时，如图1，

此时P位于正方形ABCD的中心O．
则PD⊥PA，PD=PA，
∴AD2=PD2+PA2=2PA2=16，
∴PA=2

②当PD=DA时，以点D为圆心，DA为半径作圆与弧AB的交点为点P．如图2
连PD，令AB中点为O，再连DO，PO，DO交AP于点G，则△ADO≌△PDO，

∴DO⊥AP，AG=PG，
∴AP=2AG，
又∵DA=2AO，
∴AG=2OG，
设AG为2x，OG为x，
∴（2x）2+x2=4，
∴x=

∴AG=2x=

，AP=

∴当PA的长度等于2

或

时，△PAD是等腰三角形.
（2）如图，过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E、F，延长EP交BC于点G，则PG⊥BC.

∵P点坐标为（a，b），
∴PE=b，PF=a，PG=4-a
在△PAD、△PAB和△PBC中，

∵AB为直径
∴∠APB=90°
∴

，即

∴

∴当a=2时，b=2，2S1S3－S22有最大值是16.
考点: 圆的综合题．

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