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> (本题满分14分)已知,函数,(其中为自然对数的底数).(Ⅰ)判断函数在上的单调性;(II)是否存在实数,使曲线在点处的切线与轴垂直?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由;(-高三数学
(本题满分14分)已知,函数,(其中为自然对数的底数).(Ⅰ)判断函数在上的单调性;(II)是否存在实数,使曲线在点处的切线与轴垂直?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由;(-高三数学
题目简介
(本题满分14分)已知,函数,(其中为自然对数的底数).(Ⅰ)判断函数在上的单调性;(II)是否存在实数,使曲线在点处的切线与轴垂直?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由;(-高三数学
题目详情
(本题满分14分)已知
,函数
,
(其中
为自然对数的底数).
(Ⅰ)判断函数
在
上的单调性;
(II)是否存在实数
,使曲线
在点
处的切线与
轴垂直? 若存在,
求出
的值;若不存在,请说明理由;
(Ⅲ)若实数
满足
,求证:
.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(1)①若
,则
,
在
上单调递增; ②若
,当
时,函数
在区间
上单调递减;当
时,函数
在区间
上单调递增;③若
,函数
在区间
上单调递减.
(2)故不存在;(3)见解析.
第一问中,利用导数的思想,先求解定义域,然后令导数大于零,小于零,得到函数的单调区间。但是要对参数a分情况讨论得到
第二问中,假设存在实数
,使曲线
在点
处的切线与
轴垂直,利用曲线
在点
处的切线与
轴垂直等价于方程
有实数解.
进行分析求解
第三问中,要证
,先变形
然后利用第二问的结论证明。
解(1)∵
,
,∴
. ……1分
①若
,则
,
在
上单调递增; ……2分
②若
,当
时,
,函数
在区间
上单调递减,
当
时,
,函数
在区间
上单调递增, ……4分
③若
,则
,函数
在区间
上单调递减. ……………………5分
(2)解:∵
,
,
, ……6分
由(1)易知,当
时,
在
上的最小值:
,即
时,
. ………………………8分
又
,∴
. ……9分
曲线
在点
处的切线与
轴垂直等价于方程
有实数解.
而
,即方程
无实数解.故不存在. ………………………10分
(3)证明:
,由(2)知
,令
得
.……14分
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(本题满分15分)已知函数上恒成立
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函数f(x)=ax3+3x2+2,若(-1)=4,则a的值
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(Ⅰ)判断函数
(II)是否存在实数
求出
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进行分析求解
第三问中,要证
解(1)∵
①若
②若
当
③若
(2)解:∵
由(1)易知,当
又
曲线
而
(3)证明: