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> 已知函数(>0)的图象在点处的切线方程为.(1)用表示;(2)若在上恒成立,求的取值范围;(3)证明:1+++…+>+.-高二数学
已知函数(>0)的图象在点处的切线方程为.(1)用表示;(2)若在上恒成立,求的取值范围;(3)证明:1+++…+>+.-高二数学
题目简介
已知函数(>0)的图象在点处的切线方程为.(1)用表示;(2)若在上恒成立,求的取值范围;(3)证明:1+++…+>+.-高二数学
题目详情
已知函数
(
>0)的图象在点
处的切线方程为
.
(1)用
表示
;
(2)若
在
上恒成立,求
的取值范围;
(3)证明:1+
+
+…+
>
+
.
题型:解答题
难度:偏易
来源:不详
答案
(Ⅰ)
(II)
(Ⅲ)见解析
(1)求函数
导数得
,根据导数的几何意义得
就可得到用
表示
的式子;(2)若
在
上恒成立,即
在
上恒成立。构造函数
,利用
,再讨论
的取值范围研究
的单调性使
的最小值大于等于0可得
的取值范围;
(3)由(2)知当
时,有
, (
) 若
,有
。结合要证的结论,令
,
。分别把
的值代入
,得到
个不等式依次相加得
整理即得结论。本题是与自然数有关的问题也可用数学归纳法证明
(Ⅰ)
,则有
,解得
…3分
(II)由(Ⅰ)知,
令
,
则
,
……4分
(ⅰ)当
时,
,
若
,则
,
单调递减,所以
即
,
故
在
上不恒成立. …………6分
(ⅱ) 当
时,
,
若
,则
,
是增函数,所以
即
,故当
时,
. …………8分
综上所述,所求
的取值范围为
…………9分
(Ⅲ)解法一:
由(Ⅱ)知,当
时,有
, (
)
令
,有
且当
时,
……10分
令
,有
即
,
…………12分
将上述
个不等式依次相加得
整理得
…………14分
解法二: 用数学归纳法证明
(1) 当
时,左边
,右边
, 不等式成立.…………10分
(2) 假设
时, 不等式成立, 就是
那么
由(Ⅱ)知,当
时,有
, (
)
令
,有
, (
)
令
,有
所以
即
这就是说,当
时, 不等式也成立。…………13分
根据(1)和(2),可知不等式对任何
都成立。
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令
所以
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