如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=2,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.(1)证明PA∥平面EDB;(2)证明PB⊥平面EFD;(3)求V

题目简介

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=2,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.(1)证明PA∥平面EDB;(2)证明PB⊥平面EFD;(3)求V

题目详情

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=2,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.
(1)证明 PA平面EDB;
(2)证明PB⊥平面EFD;
(3)求VB-EFD360优课网
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案


360优课网
(1)连结AC,交BD于O,连结EO,
因为ABCD是正方形,点O是AC的中点,在三角形PAF中,EO是中位线,
所以PAEO,而EO⊂面EDB,且PA⊄面EDB,所以PA平面EDB;
(2)因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥DC
在底面正方形中,DC⊥BC,
所以BC⊥面PDC,而DE⊂面PDC,
所以BC⊥DE,
又PD=DC,E是PC的中点,所以DE⊥PC,
所以DE⊥面PBC,而PB⊂面PBC,
所以DE⊥PB,
又EF⊥PB,且DE∩EF=E,
所以PB⊥平面EFD.
(3)因为PD=DC=2,所以PC=2
2
,PB=2
3
PE=
2

因为class="stub"EF
PE
=class="stub"BC
PB
,所以class="stub"EF
2
=class="stub"2
2
3

EF=
6
3
PF=
2
3
3
,FB=2
3
-
2
3
3
=
4
3
3

DF=
BD2-PF2
=
2
6
3

所以VB-EFD=class="stub"1
3
×class="stub"1
2
BF⋅DF⋅EF=class="stub"1
3
×class="stub"1
2
×
4
3
3
×
2
6
3
×
6
3
=
8
3
27

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