已知:⊙O的直径为3,线段AC=4,直线AC和PM分别与⊙O相切于点A,M.(1)求证:点P是线段AC的中点;(2)求sin∠PMC的值.-九年级数学

题目简介

已知:⊙O的直径为3,线段AC=4,直线AC和PM分别与⊙O相切于点A,M.(1)求证:点P是线段AC的中点;(2)求sin∠PMC的值.-九年级数学

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已知:⊙O的直径为3,线段AC=4,直线AC和PM分别与⊙O相切于点A,M.

(1)求证:点P是线段AC的中点;
(2)求sin∠PMC的值.
题型:解答题难度:偏易来源:不详

答案

解:(1)证明:如图,连接OM,

∵直线AC和PM分别与⊙O相切于点A,M,
∴PM=PA,OM⊥BC,BA⊥AC。
∴∠OMP=90°,∠BAC=90°。
∴∠1+∠2=90°,∠B+∠C=90°。
∵OB=OM,∴∠2=∠B。∴∠1=∠C。∴PC=PM。
又∵直线AC和PM分别与⊙O相切于点A,M,
∴PA=PM。∴PA=PC。
∴点P是线段AC的中点。
(2)在Rt△ABC中,AB=3,AC=4,∴

由(1)∠PMC=∠C,∴sin∠PMC=

试题分析:(1)连接OM,根据切线的性质得OM⊥BC,BA⊥AC,根据切线长定理得PM=PA,则∠1+∠2=90°,∠B+∠C=90°,而∠2=∠B,所以∠1=∠C,于是得到PC=PM,则PA=PC。
(2)由于∠PMC=∠C,在Rt△ABC中,先根据勾股定理计算出BC=5,然后根据正弦的定义得到,于是得到sin∠PMC的值。 

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