已知，点C在以AB为直径的半圆上，∠CAB的平分线AD交BC于点D，⊙O经过A、D两点，且圆心O在AB上．（1）求证：BD是⊙O的切线．（2）若，求⊙O的面积．-九年级数学

题目简介

已知，点C在以AB为直径的半圆上，∠CAB的平分线AD交BC于点D，⊙O经过A、D两点，且圆心O在AB上．
（1）求证：BD是⊙O的切线．
（2）若

，求⊙O的面积．

题型：解答题难度：中档来源：不详

解：（1）证明：连接OD，

∵AB为直径，∴∠ACB=90°。
∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD。
∵AD平分∠CAB，∴∠OAD=∠CAD。
∴∠ODA=∠CAD。∴OD∥AC。
∴∠ODB=∠ACB=90°。
∴BD是⊙O的切线。
（2）∵

，∴AB=4AC。
∵BC2=AB2﹣AC2，

，∴15AC2=80，解得AC=

。
∴AB=4

。
设⊙O的半径为r，
∵OD∥AC，∴△BOD∽△BAC。∴

，即

。
解得：r=

。
∴πr2=π•（

）2=

。
∴⊙O的面积为

。

试题分析：（1）连接OD，求出∠CAD=∠OAD=∠ADO，推出OD∥AC，推出OD⊥CB，根据切线判定推出即可。
（2）根据勾股定理求出AC=

，AB=4

．设⊙O的半径为r，证△BOD∽△BAC，得出

，代入求出r即可。