已知向量m=(a,b),n=(sin2x,2cos2x),若f(x)=m•n,且f(0)=8,f(π6)=12.(1)求a,b的值;(2)求函数f(x)的最大值及取得最大值时的x的集合;(3)求函数f

题目简介

已知向量m=(a,b),n=(sin2x,2cos2x),若f(x)=m•n,且f(0)=8,f(π6)=12.(1)求a,b的值;(2)求函数f(x)的最大值及取得最大值时的x的集合;(3)求函数f

题目详情

已知向量
m
=(a,b),
n
=(sin2x,2cos2x),若f(x)=
m
n
,且f(0)=8,f(
π
6
)=12

(1)求a,b的值;
(2)求函数f(x)的最大值及取得最大值时的x的集合;
(3)求函数f(x)的单调增区间.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由题意可知f(x)=asin2x+2bcos2x
由f(0)=2b=8,解得b=4.
f(class="stub"π
6
)=asinclass="stub"π
3
+2bcos2class="stub"π
6
=
3
2
a+8×class="stub"3
4
=12
,解得a=4
3

(2)由(1)可知f(x)=4
3
sin2x+4cos2x+4
=8(
3
2
sin2x+class="stub"1
2
cos2x)
+4
f(x)=8sin(2x+class="stub"π
6
)+4

2x+class="stub"π
6
=2kπ+class="stub"π
2
,k∈Z
时,sin(2x+class="stub"π
6
)
取得最大值1,
∴f(x)max=8×1+4=12
此时x的集合为{x|x=kπ+class="stub"π
6
,k∈Z}

(3)由-class="stub"π
2
+2kπ≤2x+class="stub"π
6
≤2kπ+class="stub"π
2
(k∈Z),
解得kπ-class="stub"π
3
≤x≤kπ+class="stub"π
6
(k∈Z).
∴函数f(x)的单调增区间是[kπ-class="stub"π
3
,kπ+class="stub"π
6
]
(k∈Z).

更多内容推荐