首页 > 已知函数f(x)=sin(2x+π6)+sin(2x-π6)+2cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求使f（x）≥2的x的取值范围．-高三数学

已知函数f(x)=sin(2x+π6)+sin(2x-π6)+2cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求使f（x）≥2的x的取值范围．-高三数学

题目简介

已知函数f(x)=sin(2x+π6)+sin(2x-π6)+2cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求使f（x）≥2的x的取值范围．-高三数学

题目详情

已知函数f(x)=sin(2x+
π
6
)+sin(2x-
π
6
)+2cos2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）求使f（x）≥2的x的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）∵sin(2x+class="stub"π
6
)=sin2xcosclass="stub"π
6
+cos2xsinclass="stub"π
6
，
sin(2x-class="stub"π
6
)=sin2xcosclass="stub"π
6
-cos2xsinclass="stub"π
6
，cos2x=class="stub"1
2
(cos2x+1)
∴f(x)=sin(2x+class="stub"π
6
)+sin(2x-class="stub"π
6
)+2cos2x
=sin2xcosclass="stub"π
6
+cos2xsinclass="stub"π
6
+sin2xcosclass="stub"π
6
-cos2xsinclass="stub"π
6
+cos2x+1
=
3
sin2x+cos2x+1=2sin(2x+class="stub"π
6
)+1
可得f（x）的最小正周期T=class="stub"2π
|ω|
=class="stub"2π
2
=π．
令-class="stub"π
2
+2kπ≤2x+class="stub"π
6
≤class="stub"π
2
+2kπ（k∈Z），解之得-class="stub"π
3
+kπ≤x≤class="stub"π
6
+kπ（k∈Z），
∴函数f（x）的递增区间是[-class="stub"π
3
+kπ，class="stub"π
6
+kπ]，k∈Z．
（Ⅱ）由f（x）≥2，得2sin(2x+class="stub"π
6
)+1≥2（k∈Z），即sin(2x+class="stub"π
6
)≥class="stub"1
2
，
根据正弦函数的图象，可得class="stub"π
6
+2kπ≤2x+class="stub"π
6
≤class="stub"5π
6
+2kπ（k∈Z），
解之得kπ≤x≤kπ+class="stub"π
3
（k∈Z），
∴使不等式f（x）≥2成立的x取值范围是{x|kπ≤x≤kπ+class="stub"π
3
，k∈Z}．

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网