首页 > 先解答（1），再通过类比解答（2）：（1）①求证：tan(x+π4)=1+tanx1-tanx；②用反证法证明：函数f（x）=tanx的最小正周期是π；（2）设x∈R，a为正常数，且f(x+a)=1+

先解答（1），再通过类比解答（2）：（1）①求证：tan(x+π4)=1+tanx1-tanx；②用反证法证明：函数f（x）=tanx的最小正周期是π；（2）设x∈R，a为正常数，且f(x+a)=1+

题目简介

先解答（1），再通过类比解答（2）：（1）①求证：tan(x+π4)=1+tanx1-tanx；②用反证法证明：函数f（x）=tanx的最小正周期是π；（2）设x∈R，a为正常数，且f(x+a)=1+

题目详情

先解答（1），再通过类比解答（2）：
（1）①求证：tan(x+
π
4
)=
1+tanx
1-tanx
；②用反证法证明：函数f（x）=tanx的最小正周期是π；
（2）设x∈R，a为正常数，且f(x+a)=
1+f(x)
1-f(x)
，试问：f（x）是周期函数吗？证明你的结论．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）①证明：tan(x+class="stub"π
4
)=
tanx+tanclass="stub"π
4
1-tanxtanclass="stub"π
4
=class="stub"1+tanx
1-tanx
．
②假设T是函数f（x）=tanx的一个周期，且0＜T＜π，
则对任意x≠class="stub"π
2
+kπ，k∈Z，有tan（x+T）=tanx，令x=0得tanT=0，
而当0＜T＜π时，tanT≠0恒成立或无意义，矛盾，所以假设不成立，原命题成立．
（2）由（1）可类比出函数f（x）是周期函数，它的最小正周期是4a．
证明：因为f(x+2a)=f(x+a+a)=
1+f(x+a)
1-f(x+a)
=
1+
1+f(x)
1-f(x)
1-
1+f(x)
1-f(x)
=-class="stub"1
f(x)
，
所以f(x+4a)=f[(x+2a)+2a]=-class="stub"1
f(x+2a)
=-class="stub"1
-class="stub"1
f(x)
=f(x)．

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