首页 > 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，点E满足PE=13PD．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）求二面角E-AE-D的余弦值．-高三数学

四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，点E满足PE=13PD．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）求二面角E-AE-D的余弦值．-高三数学

题目简介

四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，点E满足PE=13PD．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）求二面角E-AE-D的余弦值．-高三数学

题目详情

四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，点E满足
PE
=
1
3
PD
．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求二面角E-AE-D的余弦值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）正方形ABCD中，CD⊥AD，
又CD⊥PD，
所以CD⊥平面PAD
所以CD⊥PA（2分）
又CB⊥AB，CB⊥PB
∴CB⊥平面PAB
∴CB⊥PA（4分）
又CB∩CD=C
∴PA⊥平面ABCD（5分）

（Ⅱ）方法一：
在平面PAD中，过E作EF∥PA，交AD于F，过F作AC的垂线，垂足为G，连接EG，
∵EF∥PA，PA⊥平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD，
∴EF⊥AC
又∵AC⊥FG，
∴AC⊥平面EGF
故EG⊥AC，
所以∠EGF为二面角E-AC-D的平面角（9分）
又EF=class="stub"2
3
PA=class="stub"4
3
，在△ACD中，FG=
2
3

∴EG=
EF2+FG2
=
2
（11分）
∴cos∠EGF=
2
3
2
=class="stub"1
3
（12分）

方法二：
建立如图所示的空间直角坐标系，
则C（2，2，0），E（0，class="stub"2
3
，class="stub"4
3
），
AC
=（2，2，0），
AE
=（0，class="stub"2
3
，class="stub"4
3
）（7分）
设平面ACE的法向量
m
=(x，y，z)，
则
m
•
AC
=0
m
•
AE
=0
即
2x+2y=0
class="stub"2
3
y+class="stub"4
3
z=0
取
m
=(2，-2，1)（9分）
又平面ACD的法向量为
AP
=（0，0，2）（10分）
∴cos＜
AP
，
m
＞=class="stub"2
2•3
=class="stub"1
3
（11分）
由图可知，二面角的平面角为锐角，
∴二面角E-AC-D的余弦值为class="stub"1
3
（12分）

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