如图所示,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,E是AC的中点,ED的延长线与CB的延长线交于点F。(1)求证:FD2=FB·FC;(2)若G是BC的中点,连结GD,GD与EF垂直
证明:(1)∵E是Rt△ACD斜边中点,∴DE=EA,∴∠A=∠2,∵∠1=∠2,∴∠1=∠A,∵∠FDC=∠CDB+∠1=90°+∠1,∠FBD=∠ACB+∠A=90°+ ∠A,∴∠FDC=∠FBD∵∠F是公共角,∴△FBD∽△FDC, ∴FD2=FB·FC;解:(2)GD⊥EF,理由如下:∵DG是Rt△CDB斜边上的中线,∴DG=GC,∴∠3=∠4,由(1)得∠4=∠1,∴∠3=∠1,∵∠3+∠5=90°,∴∠5+∠1=90°,∴DG⊥EF。
题目简介
如图所示,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,E是AC的中点,ED的延长线与CB的延长线交于点F。(1)求证:FD2=FB·FC;(2)若G是BC的中点,连结GD,GD与EF垂直
题目详情
(1)求证:FD2=FB·FC;
(2)若G是BC的中点,连结GD,GD与EF垂直吗?并说明理由。
答案
证明:(1)∵E是Rt△ACD斜边中点,
∴DE=EA,∴∠A=∠2,
∵∠1=∠2,∴∠1=∠A,
∵∠FDC=∠CDB+∠1=90°+∠1,∠FBD=∠ACB+∠A=90°+ ∠A,
∴∠FDC=∠FBD
∵∠F是公共角,
∴△FBD∽△FDC,
∴FD2=FB·FC;
解:(2)GD⊥EF,
理由如下:∵DG是Rt△CDB斜边上的中线,
∴DG=GC,∴∠3=∠4,
由(1)得∠4=∠1,∴∠3=∠1,
∵∠3+∠5=90°,∴∠5+∠1=90°,
∴DG⊥EF。