如图所示,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,E是AC的中点,ED的延长线与CB的延长线交于点F。(1)求证:FD2=FB·FC;(2)若G是BC的中点,连结GD,GD与EF垂直

题目简介

如图所示,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,E是AC的中点,ED的延长线与CB的延长线交于点F。(1)求证:FD2=FB·FC;(2)若G是BC的中点,连结GD,GD与EF垂直

题目详情

如图所示,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,E是AC的中点,ED的延长线与CB的延长线交于点F。
(1)求证:FD2=FB·FC;
(2)若G是BC的中点,连结GD,GD与EF垂直吗?并说明理由。
题型:解答题难度:中档来源:专项题

答案

证明:(1)∵E是Rt△ACD斜边中点,
∴DE=EA,∴∠A=∠2,
∵∠1=∠2,∴∠1=∠A,
∵∠FDC=∠CDB+∠1=90°+∠1,∠FBD=∠ACB+∠A=90°+ ∠A,
∴∠FDC=∠FBD
∵∠F是公共角,
∴△FBD∽△FDC,
∴FD2=FB·FC;
解:(2)GD⊥EF,
理由如下:∵DG是Rt△CDB斜边上的中线,
∴DG=GC,∴∠3=∠4,
由(1)得∠4=∠1,∴∠3=∠1,
∵∠3+∠5=90°,∴∠5+∠1=90°,
∴DG⊥EF。

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