如图，已知△ABC的周长为2p，在AB、AC上分别取点M和N，使MN∥BC，且MN与△ABC的内切圆相切．求：MN的最值．-数学

题目简介

如图，已知△ABC的周长为2p，在AB、AC上分别取点M和N，使MN∥BC，且MN与△ABC的内切圆相切．
求：MN的最值．

题型：解答题难度：中档来源：不详

设BC=a，BC边上的高为h，
内切圆半径为r．
∵△AMN∽△ABC，class="stub"MN

=class="stub"h-2r

，
MN=a（1-class="stub"2r

），
由S△ABC=class="stub"1

ar+class="stub"1

br+class="stub"1

cr=class="stub"1

（a+b+c）r=class="stub"1

•2pr=rp，
∴r=

S△ABC

=class="stub"ah

，
∴MN=a（1-class="stub"a

）=p•class="stub"a

（1-class="stub"a

）≤p[

class="stub"a

+(1-class="stub"a

)

]2=class="stub"p

，
当且仅当class="stub"a

=1-class="stub"a

，
即a=class="stub"p

时，取等号，
∴MN的最大值为class="stub"p

．