如图，在△ABC中，BE是它的角平分线，∠C＝90°，D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E，交BC于点F.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)已知sinA＝，⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积

题目简介

如图，在△ABC中，BE是它的角平分线，∠C＝90°，D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E，交BC于点F.

(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)已知sin A＝

，⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积．

题型：解答题难度：中档来源：不详

（1）见解析（2）6

－

(1)证明：连接OE.∵OB＝OE，

∴∠OBE＝∠OEB，
∵BE是△ABC角平分线，
∴∠OBE＝∠EBC，∴∠OEB＝∠EBC，
∴OE∥BC.
∵∠C＝90°，∴∠AEO＝∠C＝90°，
∴AC是⊙O的切线．
(2)解：连接OF.
∴sin A＝

，∴∠A＝30°.
∵⊙O的半径为4，∴AO＝2OE＝8，
∴AE＝4

，∠AOE＝60°，∴AB＝12，
∴BC＝

AB＝6，AC＝6

，
∴CE＝AC－AE＝2

.
∴OB＝OF，∠ABC＝60°，
∴△OBF是正三角形．
∴∠FOB＝60°，CF＝6－4＝2，∴∠EOF＝60°.
∴S梯形OECF＝

×(2＋4)×2

＝6

.
S扇形EOF＝

＝

π.
∴S阴影部分＝S梯形OECF－S扇形EOF＝6

－

π.