首页 > 函数f（x）的定义域D={x|x≠0}，且满足对任意x1，x2∈D有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）（1）求f（1），f（-1）的值．（2）判断f（x）的奇偶性并证明．（3）如果f（4）=1，

函数f（x）的定义域D={x|x≠0}，且满足对任意x1，x2∈D有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）（1）求f（1），f（-1）的值．（2）判断f（x）的奇偶性并证明．（3）如果f（4）=1，

题目简介

函数f（x）的定义域D={x|x≠0}，且满足对任意x1，x2∈D有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）（1）求f（1），f（-1）的值．（2）判断f（x）的奇偶性并证明．（3）如果f（4）=1，

题目详情

函数f（x）的定义域D={x|x≠0}，且满足对任意x1，x2∈D有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）
（1）求f（1），f（-1）的值．
（2）判断f（x）的奇偶性并证明．
（3）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x-6）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵对任意x1，x2∈D有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）
令x1=x2=1，则f（1•1）=f（1）+f（1）
解得f（1）=0
令x1=x2=-1，则f（-1•-1）=f（-1）+f（-1）
解得f（-1）=0
（2）f（x）为偶函数，证明如下：
令x1=-1，x2=x，
则f（-x）=f（-1）+f（x），
即f（-x）=f（x），
即f（x）为偶函数
（3）∵f（4）=1，
∴f（64）=3f（4）=3，
由f（3x+1）+f（2x-6）≤3得
f（3x+1）+f（2x-6）≤f（64）
∵f（x）为偶函数双，又因为f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴|（3x+1）•（2x-6）|≤64，且3x+1≠0，2x-6≠0，
解各-class="stub"7
3
≤x≤5且x≠-class="stub"1
3
，x≠3
∴x的取值范围为{x|-class="stub"7
3
≤x≤5且x≠-class="stub"1
3
，x≠3}

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