已知函数f(x)=2x-12x+1,(1)判断函数f(x)的奇偶性,并证明;(2)求证函数f(x)在x∈(-∞,+∞)上是增函数.-数学

题目简介

已知函数f(x)=2x-12x+1,(1)判断函数f(x)的奇偶性,并证明;(2)求证函数f(x)在x∈(-∞,+∞)上是增函数.-数学

题目详情

已知函数f(x)=
2x-1
2x+1

(1)判断函数f(x)的奇偶性,并证明;
(2)求证函数f(x)在x∈(-∞,+∞)上是增函数.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

由题意知:
(1)f(x)是奇函数.
证明:∵对∀x∈R
f(-x)=
2-x-1
2-x+1
=
(2-x-1)2x
(2-x+1)2x
=
1-2x
1+2x
=-f(x)

∴根据奇函数的定义可知:f(x)是奇函数
(2)任取x1,x2∈R,设x1<x2
f(x1)-f(x2)=
2x1-1
2x1+1
-
2x2-1
2x2+1
=
(2x1-1)(2x2+1)-(2x1+1)(2x2-1)
(2x1+1)(2x2+1)
=
2(2x1-2x2)
(2x1+1)(2x2+1)

∵x1<x2且f(x)=2x为增函数,
2x1 <2x2
又∵(2x1+1)>0;(2x2+1)>0
∴f(x1)-f(x2)<0
故:函数f(x)在x∈(-∞,+∞)上是增函数.

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