首页 > 已知复数z=32-12i，ω=22+22i．复数.zω，z2ω3在复数平面上所对应的点分别为P，Q．证明△OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）．-数学

已知复数z=32-12i，ω=22+22i．复数.zω，z2ω3在复数平面上所对应的点分别为P，Q．证明△OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）．-数学

题目简介

已知复数z=32-12i，ω=22+22i．复数.zω，z2ω3在复数平面上所对应的点分别为P，Q．证明△OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）．-数学

题目详情

已知复数z=
3
2
-
1
2
i，ω=
2
2
+
2
2
i．复数
.
zω
，z2ω3在复数平面上所对应的点分别为P，Q．
证明△OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

解法一：z=
3
2
-class="stub"1
2
i=cos(-class="stub"π
6
)+isin(-class="stub"π
6
)，ω=
2
2
+
2
2
i=cosclass="stub"π
4
+isinclass="stub"π
4

于是zω=cosclass="stub"π
12
+isinclass="stub"π
12
，
.
zω
=cos(-class="stub"π
12
)+isin(-class="stub"π
12
)，z2ω3=[cos(-class="stub"π
3
)+isin(-class="stub"π
3
)]×(cosclass="stub"3π
4
+isinclass="stub"3π
4
)=cosclass="stub"5π
12
+isinclass="stub"5π
12

因为OP与OQ的夹角为class="stub"5π
12
-(-class="stub"π
12
)=class="stub"π
2
，所以OP⊥OQ．
因为|OP|=|
.
zϖ
|=1．|OQ|=|z2ϖ3|=1，所以|OP|=|OQ|
由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形．
解法二：
因为z=
3
2
-class="stub"1
2
i=cos(-class="stub"π
6
)+isin(-class="stub"π
6
)，所以z3=-i．
因为ω=
2
2
+
2
2
i=cosclass="stub"π
4
+isinclass="stub"π
4
，所以ω4=-1
于是
z2ω3
.
zω
=
z2ω3
.
zω
•class="stub"zω
zω
=
z3ω4
|z|2|ω|2
=i
由此得OP⊥OQ，|OP|=|OQ|．
由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形．

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