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已知z、ω为复数，（1+3i）z为纯虚数，ω=z2+i，且|ω|=52，求ω．-数学

题目简介

已知z、ω为复数，（1+3i）z为纯虚数，ω=z2+i，且|ω|=52，求ω．-数学

题目详情

已知z、ω为复数，（1+3i）z为纯虚数，ω=
z
2+i
，且|ω|=5
2
，求ω．
题型：解答题难度：中档来源：上海

答案

设z=m+ni（m，n∈R），
因为（1+3i）z=（1+3i）（m+ni）=m-3n+（3m+n）i为纯虚数，
所以m-3n=0①，
ω=class="stub"z
2+i
=class="stub"m+ni
2+i
=
(2m+n)+(2n-m)i
5
，
由|ω|=5
2
，得
(2m+n)2
25
+
(2n-m)2
25
=(5
2
)2，即m2+n2=250②
由①②解得
m=15
n=5
或
m=-15
n=-5
，
代入ω=
(2m+n)+(2n-m)i
5
可得，ω=±（7-i）．

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