下列命题中,真命题是______.①若f′(x0)=0,则函数f(x)在x=x0处取极值.②函数f(x)=lnx+x-2在区间(1,e)上存在零点.③“a=1”是函数f(x)=a-ex1+aex在定义

题目简介

下列命题中,真命题是______.①若f′(x0)=0,则函数f(x)在x=x0处取极值.②函数f(x)=lnx+x-2在区间(1,e)上存在零点.③“a=1”是函数f(x)=a-ex1+aex在定义

题目详情

下列命题中,真命题是______.
①若f′(x0)=0,则函数f(x)在x=x0处取极值.
②函数f(x)=lnx+x-2在区间(1,e)上存在零点.
③“a=1”是函数f(x)=
a-ex
1+aex
在定义域上是奇函数的充分不必要条件.
④将函数y=2cos2x-1的图象向右平移
4
个单位可得到y=sin2x的图象.
⑤点(
π
3
1
2
)
是函数f(x)=cos
1
2
x(
3
sin
1
2
x+cos
1
2
x)
图象的一个对称中心.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

令f(x)=x3,则f′(x0)=3x2,当x=0时,f′(x)=0,此时函数f(x)不是极值,故①错误;
函数f(x)=lnx+x-2在区间(1,e)上是连续的,且f(1)=-1<0,f(e)=e-1>0,根据函数零点存在定理,可得函数在区间(1,e)上存在零点,故②正确;
函数f(x)=
a-ex
1+aex
在定义域上是奇函数,则f(-x)=
a-e-x
1+ae-x
=
aex-1
ex+a
=-f(x)=-
a-ex
1+aex
,即解得a=±1,故③“a=1”是函数f(x)=
a-ex
1+aex
在定义域上是奇函数的充分不必要条件正确;
将函数y=2cos2x-1=cos2x的图象向右平移class="stub"3π
4
个单位可得到y=cos[2(x-class="stub"3π
4
)]=cos(2x-class="stub"3π
2
)=-sin2x的图象,故④错误.
当x=class="stub"π
3
时,函数f(x)=cosclass="stub"1
2
x(
3
sinclass="stub"1
2
x+cosclass="stub"1
2
x)
=sin(x+class="stub"π
6
)+class="stub"1
2
=class="stub"3
2
,此时函数取最大值,故⑤错误
故答案为②③

更多内容推荐