关于函数f(x)=lgx2+1|x|(x≠0)，有下列命题：①其图象关于y轴对称；②f（x）的最小值是lg2；③（-1，0）是f（x）的一个递增区间；④f（x）没有最大值．其中正确的是______（将

题目简介

关于函数f(x)=lg

x2+1

|x|

(x≠0)，有下列命题：
①其图象关于y轴对称；
②f（x）的最小值是lg2；
③（-1，0）是f（x）的一个递增区间；
④f（x）没有最大值．
其中正确的是______（将正确的命题序号都填上）．

题型：填空题难度：中档来源：不详

设t=

x2+1

|x|

=|x|+class="stub"1

|x|

，
则|x|+class="stub"1

|x|

≥2

|x|•class="stub"1

|x|

=2，当且仅当|x|=1时，等号成立
∴当x=±1时，t达到最小值2
对于①，由于f（-x）=lg

(-x)2+1

|-x|

=lg

x2+1

|x|

=f（x）
∴函数f（x）在其定义域上为偶函数，故其图象关于y轴对称，得①正确；
对于②，因为t=

x2+1

|x|

的最小值为2，底数10是大于1的数
∴f（x）=lgt的最小值是lg2，故②正确；
对于③，在（-∞，0）上，函数t=

x2+1

|x|

在x=-1时有最小值
故在（-1，0）上t为关于x的增函数，
可得函数f（x）=lgt也是在（-1，0）上的增函数，得③正确；
对于④，由于t=

x2+1

|x|

没有最大值，
可得函数f（x）=lgt也没有最大值，故④正确．
故答案为：①②③④