定义“正数对”：ln+x=0，0＜x＜1lnx，x≥1，现有四个命题：①若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=bln+a；②若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=ln+a+ln+b；③若a＞0，b＞0，则

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定义“正数对”：ln⁺x=

0， 0＜x＜1

lnx， x≥1

，现有四个命题：
①若a＞0，b＞0，则ln⁺（a^b）=bln⁺a；
②若a＞0，b＞0，则ln⁺（ab）=ln⁺a+ln⁺b；
③若a＞0，b＞0，则ln+(

)≥ln+a-ln+b；
④若a＞0，b＞0，则ln⁺（a+b）≤ln⁺a+ln⁺b+2．
其中的真命题有______（写出所有真命题的序号）

题型：填空题难度：中档来源：山东

答案

对于①，由定义，当a≥1时，ab≥1，故ln+（ab）=ln（ab）=blna，又bln+a=blna，故有ln+（ab）=bln+a；
当a＜1时，ab＜1，故ln+（ab）=0，又a＜1时bln+a=0，所以此时亦有ln+（ab）=bln+a．由上判断知①正确；
对于②，此命题不成立，可令a=2，b=class="stub"1

，则ab=class="stub"2

，由定义ln+（ab）=0，ln+a+ln+b=ln2，所以ln+（ab）≠ln+a+ln+b；由此知②错误；
对于③，当a≥b＞0时，class="stub"a

≥1，此时ln+(class="stub"a

)=ln (class="stub"a

)≥0，当a≥b≥1时，ln+a-ln+b=lna-lnb=ln(class="stub"a

)，此时命题成立；当a＞1＞b时，ln+a-ln+b=lna，此时class="stub"a

＞a，故命题成立；同理可验证当1＞a≥b＞0时，ln+(class="stub"a

)≥ln+a-ln+b成立；当class="stub"a

＜1时，同理可验证是正确的，故③正确；
对于④，可分a≤1，b≤1与两者中仅有一个小于等于1、两者都大于1三类讨论，依据定义判断出④是正确的
故答案为①③④

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定义“正数对”：ln+x=0，0＜x＜1lnx，x≥1，现有四个命题：①若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=bln+a；②若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=ln+a+ln+b；③若a＞0，b＞0，则

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