关于函数f(x)=3cos2x-sin2x,下列命题正确的是______.(1)函数f(x)的图象关于直线x=11π12对称;(2)函数f(x)在区间(-π12,5π12)内是增函数;(3)任意x都有

题目简介

关于函数f(x)=3cos2x-sin2x,下列命题正确的是______.(1)函数f(x)的图象关于直线x=11π12对称;(2)函数f(x)在区间(-π12,5π12)内是增函数;(3)任意x都有

题目详情

关于函数f(x)=
3
cos2x-sin2x,下列命题正确的是______.
(1)函数f(x)的图象关于直线x=
11π
12
对称;
(2)函数f(x)在区间(-
π
12
12
)内是增函数;
(3)任意x都有f(x1)≤f(x)≤f(x2),则|x1-x2|=kπ,k∈Z
(4)将函数y=2cos2x的图象向左平移
π
12
个单位后得到y=f(x)图象.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

函数f(x)=
3
cos2x-sin2x=-2sin(2x-class="stub"π
3
).
(1)当x=class="stub"11π
12
时,f(class="stub"11π
12
)=-2sin(2×class="stub"11π
12
-class="stub"π
3
)=-2sinclass="stub"3π
2
=2为函数f(x)最大值,
所以x=class="stub"11π
12
是函数的一条对称轴,所以(1)正确.
(2)当x∈(-class="stub"π
12
class="stub"5π
12
)时,-class="stub"π
6
<2x<class="stub"5π
6
-class="stub"π
2
<2x-class="stub"π
3
<class="stub"π
2
,此时函数单调递减,所以(2)不正确.
(3)由于任意x都有f(x1)≤f(x)≤f(x2),则f(x1)=f(x)|最小值,f(x2)=f(x)|最大值,
则|x1-x2|=kπ,k∈N*,故(3)不正确;
(4)由y=2cos2x的图象向左平移class="stub"π
12
个单位长度,
得到y=2cos2(x+class="stub"π
12
)=y=2cos(2x+class="stub"π
6
)
=2sin[class="stub"π
2
-(2x+class="stub"π
6
)]
=2sin(class="stub"π
3
-2x)═-2sin(2x-class="stub"π
3
)

所以(4)正确.所以正确的是(1)(4)
故答案为:(1)(4).

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