给定整数n≥3，实数a1，a2，…，an满足min1≤i＜j≤n|ai-aj|=1．求nk=1|ak|3的最小值．-数学

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给定整数n≥3，实数a₁，a₂，…，a_n满足min_{1≤i＜j≤n}|a_i-a_j|=1．求

k=1

|ak|3的最小值．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

不妨设a1＜a2＜…＜an，则对1≤k≤n，有|ak|+|an-k+1|≥|an-k+1-ak|≥|n+1-2k|，
所以

k=1

|ak|3=class="stub"1

k=1

(|ak|3+|an+1-k|3)=class="stub"1

k=1

(|ak|+|an+1-k|)(class="stub"3

(|ak|-|an+1-k|)2+class="stub"1

(|ak|+|an+1-k|)2)≥class="stub"1

k=1

(|ak|+|an+1-k|)3≥class="stub"1

k=1

|n+1-2k|3．
当n为奇数时，

k=1

|n+1-2k|3=2•23•

class="stub"n-1

i=1

i3=class="stub"1

(n2-1)2．
当n为偶数时，

k=1

|n+1-2k|3=2

class="stub"n

i=1

(2i-1)3=2(

j=1

j3-

class="stub"n

i=1

(2i)3)=class="stub"1

n2(n2-2)．
所以，当n为奇数时，

k=1

|ak|3≥class="stub"1

(n2-1)2，当n为偶数时，

k=1

|ak|3≥class="stub"1

n2(n2-2)，等号均在ai=i-class="stub"n+1

，i=1，2，n时成立．
因此，

k=1

|ak|3的最小值为class="stub"1

(n2-1)2（n为奇数），或者class="stub"1

n2(n2-2)（n为偶数）．

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给定整数n≥3，实数a1，a2，…，an满足min1≤i＜j≤n|ai-aj|=1．求nk=1|ak|3的最小值．-数学

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