首页 > 已知向量a=(cos3x2，sin3x2)，b=(cosx2，-sinx2)，x∈[-π3，π2]（1）求证：(a-b)⊥(a+b)；（2）|a+b|=13，求cosx的值．-数学

已知向量a=(cos3x2，sin3x2)，b=(cosx2，-sinx2)，x∈[-π3，π2]（1）求证：(a-b)⊥(a+b)；（2）|a+b|=13，求cosx的值．-数学

题目简介

已知向量a=(cos3x2，sin3x2)，b=(cosx2，-sinx2)，x∈[-π3，π2]（1）求证：(a-b)⊥(a+b)；（2）|a+b|=13，求cosx的值．-数学

题目详情

已知向量
a
=(cos
3x
2
，sin
3x
2
)，
b
=(cos
x
2
，-sin
x
2
)，x∈[-
π
3
，
π
2
]
（1）求证：(
a
-
b
)⊥(
a
+
b
)；
（2）|
a
+
b
|=
1
3
，求cosx的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵
a
=(cosclass="stub"3x
2
，sinclass="stub"3x
2
)，
b
=(cosclass="stub"x
2
，-sinclass="stub"x
2
)，
∴
a
2=cos2class="stub"3x
2
+sin2class="stub"3x
2
=1，
b
2=cos2class="stub"x
2
+sin2class="stub"x
2
=1，
∴(
a
-
b
)•(
a
+
b
)=
a
2-
b
2=0，
∴(
a
-
b
)⊥(
a
+
b
)．

（2）∵|
a
+
b
|=
(
a
+
b
)2
=
a
2+2
a
•
b
+
b
2

=
1+2(cosclass="stub"3x
2
•cosclass="stub"x
2
+sinclass="stub"3x
2
•sinclass="stub"x
2
)+1

=
2+2cos2x

=class="stub"1
3
，
∴2+2cos2x=class="stub"1
9
，即cos2x=-class="stub"17
18
，
∴2cos2x-1=-class="stub"17
18
，
∴cos2x=class="stub"1
36
，
∵x∈[-class="stub"π
3
，class="stub"π
2
]，
∴cosx=class="stub"1
6
．

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