首页 > 已知函数f(x)=x+ax+b(x≠0)，其中a，b∈R．（Ⅰ）若a=b=1，x∈[12，2]，求f（x）的值域；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若对于任意的a∈[12，2]，不等式f（x）≤1

已知函数f(x)=x+ax+b(x≠0)，其中a，b∈R．（Ⅰ）若a=b=1，x∈[12，2]，求f（x）的值域；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若对于任意的a∈[12，2]，不等式f（x）≤1

题目简介

已知函数f(x)=x+ax+b(x≠0)，其中a，b∈R．（Ⅰ）若a=b=1，x∈[12，2]，求f（x）的值域；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若对于任意的a∈[12，2]，不等式f（x）≤1

题目详情

已知函数f(x)=x+
a
x
+b(x≠0)，其中a，b∈R．
（Ⅰ）若a=b=1，x∈[
1
2
，2]，求f（x）的值域；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若对于任意的a∈[
1
2
，2]，不等式f（x）≤10在[
1
4
，1]上恒成立，求b的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）因为f（x）=x+class="stub"1
x
+1
根据特殊函数y=+xclass="stub"1
x
的单调性得：函数在[class="stub"1
2
，1]上递减，在[1，2]上递增；
而 f（1）=3，f（class="stub"1
2
）=f（2）=class="stub"7
2

所以：f（x）∈[3，class="stub"7
2
]，
（Ⅱ）f′(x)=1-class="stub"a
x2
．
当a≤0时，显然f'（x）＞0（x≠0）．这时f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上内是增函数．
当a＞0时，令f'（x）=0，解得x=±
a
．
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x(-∞，-
a
)		-
a
(-
a
，0)		(0，
a
)
a
(
a
，+∞)
f'（x）+0--0+
f（x）↗极大值↘↘极小值↗
所以f（x）在(-∞，-
a
)，(
a
，+∞)内是增函数，在(-
a
，0)，（0，+∞）内是减函数．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在[class="stub"1
4
，1]上的最大值为f(class="stub"1
4
)与f（1）的较大者，
对于任意的a∈[class="stub"1
2
，2]，不等式f（x）≤10在[class="stub"1
4
，1]上恒成立，
当且仅当
f(class="stub"1
4
)≤10
f(1)≤10
，即
b≤class="stub"39
4
-4a
b≤9-a
，对任意的a∈[class="stub"1
2
，2]成立．
从而得b≤class="stub"7
4
，所以满足条件的b的取值范围是(-∞，class="stub"7
4
]．

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