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> 已知函数f(x)=4x+a1+x2的单调递增区间为[m，n]（1）求证f（m）f（n）=-4；（2）当n-m取最小值时，点p（x1，y1），Q（x2，y2）（a＜x1＜x2＜n），是函数f（x）图象上
已知函数f(x)=4x+a1+x2的单调递增区间为[m，n]（1）求证f（m）f（n）=-4；（2）当n-m取最小值时，点p（x1，y1），Q（x2，y2）（a＜x1＜x2＜n），是函数f（x）图象上
题目简介
已知函数f(x)=4x+a1+x2的单调递增区间为[m，n]（1）求证f（m）f（n）=-4；（2）当n-m取最小值时，点p（x1，y1），Q（x2，y2）（a＜x1＜x2＜n），是函数f（x）图象上
题目详情
已知函数
f(x)=
4x+a
1+
x
2
的单调递增区间为[m，n]
（1）求证f（m）f（n）=-4；
（2）当n-m取最小值时，点p（x
1
，y
1
），Q（x
2
，y
2
）（a＜x
1
＜x
2
＜n），是函数f（x）图象上的两点，若存在x
0
使得f′（x
0
）=
f(
x
2
)-f(
x
1
)
x
2
-
x
1
，x求证x
1
＜|x
0
|＜x
2
．
题型：解答题
难度：中档
来源：不详
答案
（1）f′（x）=
-4
x
2
-2ax+4
(1+
x
2
)
2
，
依题意，m，n是方程-4x2-2ax+4=0的两根，
∴
m+n=-
class="stub"a
2
mn=-1
，
f（m）f（n）=
class="stub"4m+a
1
+m
2
•
class="stub"4n+a
1+
n
2
=
16mn+4a(m+n)+
a
2
(mn
)
2
+(m+n
)
2
-2mn+1
=
-(16+
a
2
)
a
2
4
+4
=-4．
（2）∵n-m=
(m+n
)
2
-4
x
1
x
2
=
a
2
4
+4
≥2
，
∴n-m取最小值时，a=0，n=1，m=-1，
∵f（x）在[-1，1]是增函数，0＜x1＜x2＜1，
∴
f
′
(
x
0
)=
f(
x
2
)-f(
x
1
)
x
2
-
x
1
＞0，从而x0∈（-1，1）．
f′（x0）=
4(1-
x
0
2
)
(1+
x
0
2
)
2
=
f(
x
2
)-f(
x
1
)
x
2
-
x
1
=
4(1-
x
1
x
2
)
(1+
x
1
2
)(1+
x
2
2
)
，
即
(1-
x
0
2
)
(1+
x
0
2
)
2
=
1-
x
1
x
2
(1+
x
1
2
)(1+
x
2
2
)
．
∵
(1+
x
1
2
)(1+
x
2
2
)
=
x
1
2
x
2
2
+
x
1
2
+
x
2
2
+1
＞（x1x2）2+2x1x2+1
=
(1+
x
1
x
2
)
2
，
∴
1-
x
0
2
(1+
x
0
2
)
2
=
1-
x
1
x
2
(1+
x
1
2
)(1+
x
2
2
)
＜
1-
x
1
x
2
(1+
x
1
x
2
)
2
．
设g（x）=
class="stub"1-x
(1+
x)
2
，则g′（x）=
(x-1
)
2
-2
(1+x
)
4
，
∴当x∈（0，1）时，有g′（x）＜0，
∴g（x）是（0，1）上的减函数．
∴由g（x
0
2
）＜g（x1x2），得
x
0
2
＞x1x2＞x
1
2
，∴|x0|＞x1．
由
1-
x
0
2
(1+
x
0
2
)
2
=
1-
x
1
x
2
(1+
x
1
2
)(1+
x
2
2
)
，及0＜1-x
0
2
＜1-x1x2，
得
(1
+x
0
2
)
2
＜(1+
x
1
2
)(1+
x
2
2
)
＜
(1+
x
2
2
)
2
，
故1+
x
0
2
＜1+
x
2
2
，即|x0|＜x2，
∴x1＜|x0|＜x2．
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设函数，对任意，恒成立，则实数的取
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设是周期为2的奇函数，当时，=，则=．-
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函数的图象大致为A．B．C．D．-高三数学
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定义在上的函数满足，当时,,当时,.则=（）A．338B．337C．1678D．2013-高三数学
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函数的增区间为（）A．B．C．D．-数学
对函数f(x)＝1－(x∈R)的如下研究结果，正确的是()A．既不是奇函数又不是偶函数．B．既是奇函数又是偶函数．C．是偶函数但不是奇函数．D．是奇函数但不是偶函数．-高一数学
若函数是上的单调递减函数，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．-高三数学
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设偶函数满足：当时，，则=（）A．B．C．D．-高三数学
已知函数是奇函数，则的值是.-高三数学
已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）的导函数f′(x)＜12，则f(x)＜x2+12的解集为（）A．{x|-1＜x＜1}B．{x|x＜-1}C．{x|x＜-1或x＞1}D．{x|x＞
已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），对一切x、y＞0，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且x＞0时，f（x）＜0．（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是减函数．（2）f(2)=-12时，解
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题目简介
已知函数f(x)=4x+a1+x2的单调递增区间为[m，n]（1）求证f（m）f（n）=-4；（2）当n-m取最小值时，点p（x1，y1），Q（x2，y2）（a＜x1＜x2＜n），是函数f（x）图象上
题目详情
（1）求证f（m）f（n）=-4；
（2）当n-m取最小值时，点p（x1，y1），Q（x2，y2）（a＜x1＜x2＜n），是函数f（x）图象上的两点，若存在x0使得f′（x0）=
答案
依题意，m，n是方程-4x2-2ax+4=0的两根，
∴
f（m）f（n）=
=
=
（2）∵n-m=
=
∴n-m取最小值时，a=0，n=1，m=-1，
∵f（x）在[-1，1]是增函数，0＜x1＜x2＜1，
∴f′(x0)=
f′（x0）=
即
∵(1+x12)(1+x22)=x12x22+x12+x22+1
＞（x1x2）2+2x1x2+1
=(1+x1x2)2，
∴
设g（x）=
∴当x∈（0，1）时，有g′（x）＜0，
∴g（x）是（0，1）上的减函数．
∴由g（x02）＜g（x1x2），得x02＞x1x2＞x12，∴|x0|＞x1．
由
得(1+x02)2＜(1+x12)(1+x22)＜(1+x22)2，
故1+x02＜1+x22，即|x0|＜x2，
∴x1＜|x0|＜x2．