首页 > 设函数f（x）=ax2+1bx+c是奇函数，其中a，b，c∈N，f（1）=2，f（2）＜3．（Ⅰ）求a，b，c的值；（Ⅱ）判断并证明f（x）在（-∞，-1]上的单调性．-数学

设函数f（x）=ax2+1bx+c是奇函数，其中a，b，c∈N，f（1）=2，f（2）＜3．（Ⅰ）求a，b，c的值；（Ⅱ）判断并证明f（x）在（-∞，-1]上的单调性．-数学

题目简介

设函数f（x）=ax2+1bx+c是奇函数，其中a，b，c∈N，f（1）=2，f（2）＜3．（Ⅰ）求a，b，c的值；（Ⅱ）判断并证明f（x）在（-∞，-1]上的单调性．-数学

题目详情

设函数f（x）=
ax2+1
bx+c
是奇函数，其中a，b，c∈N，f（1）=2，f（2）＜3．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）判断并证明f（x）在（-∞，-1]上的单调性．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）由f（x）=
ax2+1
bx+c
是奇函数得：f（-x）+f（x）=0，∴
ax2+1
bx+c
+
ax2+1
-bx+c
=0，∴(ax2+1)class="stub"2c
(bx+c)(-bx+C)
=0，
解得 c=0，即f(x)=
ax2+1
bx
．
又f（1）=2，∴2=class="stub"a+1
b
  ， 2b=a+1．
又 f（2）＜3，可得class="stub"4a+1
2b
＜3，class="stub"4a+1
a+1
＜3，∴-1＜a＜2，
∵a∈N，∴a=0或1．
若a=0，则b=class="stub"1
2
∉N（舍去），∴a=b=1，c=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=
x2+1
x
=x+class="stub"1
x
，f（x）在（-∞，-1]上单调递增．
下用定义证明：设x1＜x2≤-1，则：f（x1）-f（x2）=x1+class="stub"1
x1
-(x2+class="stub"1
x2
)=x1-x2+
x2-x1
x1x2
=(x1-x2)(1-class="stub"1
x1x2
)，
因为x1＜x2≤-1，x1-x2＜0，1-class="stub"1
x1x2
＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，故f（x）在（-∞，-1]上单调递增．

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网