已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），对一切x、y＞0，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且x＞0时，f（x）＜0．（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是减函数．（2）f(2)=-12时，解

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已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），对一切x、y＞0，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且x＞0时，f（x）＜0．
（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是减函数．
（2）f(2)=-

时，解不等式f（ax+4）＞-1．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）任取0＜x1＜x2＜+∞，则x2-x1＞0
∴f（x2-x1）＜0，
∴f（x2）-f（x1）
=f（x2-x1+x1）-f（x1）
=f（x2-x1）+f（x1）-f（x1）
=f（x2-x1）＜0
∴f（x2）＜f（x1）
∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．

（2）∵f（2）+f（2）=-1
∴f（ax+4）＞f（2+2）=f（4）
由（1）知f（x）在（0，+∞）上为减函数，∴0＜ax+4＜4
当a＞0时，解得-class="stub"4

＜x＜0
当a＜0时，解得0＜x＜-class="stub"4

当a=0时，无解

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已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），对一切x、y＞0，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且x＞0时，f（x）＜0．（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是减函数．（2）f(2)=-12时，解

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