已知函数f（x）=x2+（x≠0，常数a∈R）．（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若函数f（x）在[2，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围．-高一数学

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已知函数f（x）=x²+（x≠0，常数a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数f（x）在[2，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围．

题型：解答题难度：中档来源：江苏月考题

答案

解：（1）当a=0时，f（x）=x2
对任意x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），有f（﹣x）=（﹣x）2=x2=f（x），
∴f（x）为偶函数．
当a≠0时，f（x）=x2+ （x≠0，常数a∈R），
取x=±1，得f（﹣1）+f（1）=2≠0，
f（﹣1）﹣f（1）=﹣2a≠0，
∴f（﹣1）≠﹣f（1），f（﹣1）≠f（1）．
∴函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数．
（2）设2≤x1＜x2，
f（x1）﹣f（x2）=
= [x1x2（x1+x2）﹣a]，
要使函数f（x）在x∈[2，+∞）上为增函数，必须f（x1）﹣f（x2）＜0恒成立．
∵x1﹣x2＜0，x1x2＞4，即a＜x1x2（x1+x2）恒成立．
又∵x1+x2＞4，
∴x1x2（x1+x2）＞16，
∴a的取值范围是（﹣∞，16]．

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已知函数f（x）=x2+（x≠0，常数a∈R）．（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若函数f（x）在[2，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围．-高一数学

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