设a＞0，函数．（1）求证：关于x的方程没有实数根；（2）求函数的单调区间；（3）设数列{xn}满足，当a=2且，证明：对任意m∈N*都有．-高三数学

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设a＞0，函数．
（1）求证：关于x的方程没有实数根；
（2）求函数的单调区间；
（3）设数列{x_n}满足，当a=2且，证明：对任意m∈N*都有．

题型：解答题难度：偏难来源：四川省模拟题

答案

解：（1）∵方程，
∴，
∴﹣x+a+1=0，
∵a＞0，
∴△=1﹣4（a+1）=﹣4a﹣3＜0
方程没有实数根；
（2）∵函数，
∴g'（x）=a+2x+a，
令g'（x）=a+2x+a=0，则△=4﹣4a2，
①当△=4﹣4a2＜0，即a＞1，对任意实数g'（x）＞0，
∴g（x）在R上单调递增
②当△=4﹣4a2=0，即a=1，g'（1）=0，但g'（x）＞0，（x≠1），
∴g（x）在R上单调递增
③当△=4﹣4a2＞0，即0＜a＜1，对任意实数由g'（x）＞0，a+2x+a＞0，得x或x＞，
∴g（x）在（）上单调递减，g（x）在（﹣∞，），（，+∞）上单调递增
（3）当a=2时，由=0，得 x2=f（）=f（0）=，
|﹣x2|=，|x3﹣x2|=||=×|x22﹣x12|＜×|x2﹣||x2+|
=××|x2﹣|=
当k≥2时，∵0＜xk≤
∴|xk+1﹣xk|=||=×|xk2﹣xk﹣12|<×|xk﹣xk﹣1||xk+xk﹣1|＜×|xk﹣xk﹣1|＜×|xk﹣1﹣xk﹣2|＜…＜×|x3﹣x2|＜
对任意m∈N+，|xm+k﹣xk|=|（xm+k﹣xm+k﹣1）+（xm+k﹣1﹣xm+k﹣2）+（xm+k﹣2﹣xm+k﹣3）…+（xk+1﹣xk）|≤|（xm+k﹣xm+k﹣1）|+|（xm+k﹣1﹣xm+k﹣2）|+…+|（xk+1﹣xk）|
≤（++…++1）|xk+1﹣xk|=|xk+1﹣xk|=·=，即证；

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设a＞0，函数．（1）求证：关于x的方程没有实数根；（2）求函数的单调区间；（3）设数列{xn}满足，当a=2且，证明：对任意m∈N*都有．-高三数学

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