(本题满分14分)如图1,在平面内,ABCD是的菱形,ADD``A1和CDD`C1都是正方形.将两个正方形分别沿AD,CD折起,使D``与D`重合于点D1.设直线l过点B且垂直于菱形ABCD所在的平面

题目简介

(本题满分14分)如图1,在平面内,ABCD是的菱形,ADD``A1和CDD`C1都是正方形.将两个正方形分别沿AD,CD折起,使D``与D`重合于点D1.设直线l过点B且垂直于菱形ABCD所在的平面

题目详情

(本题满分14分)
如图1,在平面内,ABCD是的菱形,ADD``A1和CD D`C1都是正方形.将两个正方形分别沿AD,CD折起,使D``与D`重合于点D1 .设直线l过点B且垂直于菱形ABCD所在的平面,点E是直线l上的一个动点,且与点D1位于平面ABCD同侧(图2).
  
(Ⅰ) 设二面角E – AC – D1的大小为q,若£q£,求线段BE长的取值范围;
(Ⅱ)在线段上存在点,使平面平面,求与BE之间满足的关系式,并证明:当0 < BE < a时,恒有< 1.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案


(方法1)设菱形的中心为O,以O为原点,对角线AC,BD所在直线分别为x,y轴,建立空间直角坐标系如图1.设BE =" t" (t > 0).

(Ⅰ)

设平面的法向量为,则
        3分
设平面的法向量为
     4分
设二面角的大小为,则,   6分
∵cosqÎ,  ∴ ,    
解得£ t £. 所以BE的取值范围是 [].    8分
(Ⅱ) 设,则

由平面平面,得平面
,化简得:(t ¹a),即所求关系式:(BE ¹a).
∴当0< t < a时,< 1. 即:当0 < BE < a时,恒有< 1.       14分
(方法2)
(Ⅰ)如图2,连接D1A,D1C,EA,EC,D1O,EO,

∵ D1A= D1C,所以,D1O⊥AC,同理,EO⊥AC,
是二面角的平面角.设其为q.        3分
连接D1E,在△OD1E中,设BE =" t" (t > 0)则有:
OD1 = ,OE = ,D1E =
.                                  6分
∵cosqÎ,  ∴ ,    
解得£ t £. 所以BE的取值范围是 [].
所以当条件满足时,£ BE £.                 8分
(Ⅱ)当点E在平面A1D1C1上方时,连接A1C1,则A1C1∥AC,

连接EA1,EC1,设A1C1的中点为O1,则O1在平面BDD1内,过O1作O1P∥OE交D1E于点P,则平面平面
作平面BDD1如图3.过D1作D1B1∥BD交于l点B1,设EO交D1B1于点Q.
因为O1P∥OE,所以==
由Rt△EB1Q∽RtEBO,得,解得QB1 = ,得=,  12分
当点E在平面A1D1C1下方时,同理可得,上述结果仍然成立.       13分
∴有=(BE ¹a),∴当0 < t < a时,< 1.      14分

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